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阶跃函数在大跨度悬索桥施工的颤振分析中的应用研究

摘要

由于动态激励的敏感性，大跨度斜拉索的设计是具有挑战性的。空气动力引起的震颤甚至可以严重影响到安全的歌剧。阶跃函数在时域颤振分析的一个实例应用就是大带东桥的成桥及施工阶段的震颤分析。非线性最小二乘法为被用来提取时域颤振分析气动参数。借由非线性动力学分析，考虑了几何非线性。结果表明，良好的经过风洞试验的气动外形设计以及阶跃函数的有效应用同几何非线性分析在桥面施工阶段同样重要。

关键词：阶跃函数，时域方法，几何非线性气动弹力，施工

1绪论

现代大跨度桥梁已变得更加灵活和纤细，因而更容易受到风荷载的影响。由空气动力不稳定造成的震颤可以严重影响大跨度桥梁结构安全运行。因此，颤振失稳是现代大跨度桥梁设计中的主要考虑因素。此外，对大跨度的研究表明桥在施工过程中也要尤其关注桥梁的气动稳定性，以及在施工中有降低初始阶段扭转和垂直频率的各种因素。

随着大跨度桥梁的高度非线性行为，全时域仿真模拟技术适合应用于成桥及施工，这可以阶跃函数负荷模型来进行模拟。瓦格纳（1925）是第一个提出基于阶跃函数薄翼理论来阐述垂直升力在风速瞬时变化的单自由度体系。比斯普林霍夫等人（1955）提出了一个通用函数用于表示气动力矩和自激荷载作用下的位移的不同分量的影响。

阶跃函数在桥梁领域的应用的相关研究最早始于斯坎伦等人（1974）。他将机翼颤振理论和阶跃颤振响应应用于扁平结构形式并提出了一种颤振导数与阶跃函数的联系。Borri-和Hoffer（2000）提出了一种基于连续阶跃响应函数的非稳定气动弹性负荷模型，它能够应用于有限元程序。Borri-等人（2002）引入衰退记忆法，加入他们的有限元代码，来进行气动弹性不稳定的研究以及非线性动力学的结构分析。Costa和Borri-（2006）通过时域仿真的阶跃函数系数进一步评估流线型的和低阻力矩形截面并用风洞试验证明了其结果。Panot等人（2011），引入对材料和几何非线性的影响分析，发现几何非线性及材料特性对大跨桥梁气弹失稳有着重要的影响效果。

本文将基于阶跃函数负荷模型的时域颤振分析应用于分析预测大贝尔特桥在成桥及施工状态下的的临界速度。该模型被用于几何非线性分析。此外，整个施工阶段的气动不稳定性约束的变化用数字来表示并且结果通过了风洞试验的检测。

图1.荷载模型

2.自激气动力

解决颤振问题的经典工程方法是自激力在混合时频域的配方通过-斯坎伦颤振导数的描述（1986）。这个方法假定桥面具有统一的性能，因此，一个具有2个自由度的梁单元可以代表整个桥梁。线性气动自激力由实验获得的颤振倒数决定。单位跨度单元的气动力与桥面板的升沉，摇摆，和扭转位移相关联，如由z，x，alpha;表示位移，相应的速度由zrsquo;,xrsquo;,alpha;rsquo;表示，在横截面的弹性中心，可表示如下：

其中U =风速；rho;=空气密度；B =桥面宽度；k =降低频率k = Bomega;/ U；响应omega;=圆频率；嗨，PI、AI *（I = 1hellip;6）=无量纲颤振导数通过风洞试验确定。

2.1基于阶跃函数的不稳定自激力时程分析法

陈（2008）表示，基于阶跃函数的不稳定自激力时程分析法是薄机翼震颤理论的扩展。响应历程表示为一系列无限小的逐步递增。气动弹性的阶跃函数给出了由于单元位移造成的气动不稳定随风荷载的变化规律。风荷载则由位移历史阶跃函数的卷积积分可以得出。

以下的阶跃函数就是Salvatori和 Spinelli所采用的，具体如下：

其中C_L和C_M分别表示静态的升力和力矩系数，z和alpha;分别桥面单元的垂直和扭转自由度，q表示动态压力并有q=1/2rho;U²，C_Lrsquo;和C_Mrsquo;表示升力曲线斜率和力矩系数斜率，Phi;_ij（i = l，m；j = Z，alpha;）是指数函数和点表示的分化与时间。 the Great Belt的主要尺寸如图2所示。

2.2颤振导数的阶跃函数提取

阶跃函数可以被认为是在两个部分：固定部分，a_0hk，解释准稳态的影响因素，第二部分n指数组，a_ihk，bihk，描述力的变化，其中S＝Ut / b是无量纲的时间，由以下方程表示。

与气动弹性的相关理论较多相比阶跃函数的试验建立程序并未被广泛建立。然而，从气动弹性的相关衍生数学式或许可以得到一个阶跃函数。这种存在于震颤理论衍生物同阶跃函数的奇妙联系被 Borri, C., Costa, C., Zahlten, W., (2002);发现，如下：

考虑攻角的空气动力系数的衍生物在原理上与薄翼理论不同。因此，非线性最小二乘法被用于区分阶跃函数的系数和试验的空气动力衍生物。由于阶跃函数随着时间推进趋向于无穷时必然收敛，因此阶跃函数中的参数 b_ihk必须是一个正值。

3大贝尔特东桥振动分析

现代悬索桥具有柔性和细长的特点，这些特点使得悬索桥易受风失稳引起的动态激振的影响。空气动力不稳定是对大跨度桥梁结构安全运行的重要影响之一。Agar（1989）提出，一定风速下的桥梁震颤，在这个风速下将导致的空气动力作用于震动结构，因此诱发桥梁振动。大跨度悬索桥梁的自振运动与桥梁的最小的上下震动和扭振模式有着很大的联系。因此，振动稳定性是大跨度悬索桥设计中的重要考虑因素。

Weight（2009）提出大贝尔特东桥是在丹麦最长的悬索桥之一。建成的东桥中跨跨度为1624米，边跨跨度为535米。大桥于1998对车辆交通正式开放。大桥面为31米宽，约4米高的钢箱梁。这梁是连续的全索长2694米。箱梁的形式可以抵抗较强风力作用下的桥梁震动失稳。大桥主缆垂跨比为1／9。主索通过加劲梁固定在中跨。混凝土主塔的总高度，包括电缆和索鞍，约为258米。桥梁外形结构和性能分别在图2和表1中给出。

表1. 大贝尔特桥的几何形状和材料性质（karoumi，1999；基姆等，2002）

图2.大贝尔特桥主要尺寸

3.1瑞利阻尼比的频率分析与计算

使用适当的元素组合，可以完成大贝尔特东桥的建模。单梁模型是用来模拟桥面板，这也是适合于单—箱梁桥的建模方法。悬索主缆通过刚性连接元件连接到主梁。考虑几何非线性的索单元被用于悬架模型进行建模。在悬索自身的重量下，一个悬索主缆的几何线形是通过形状寻找过程进行不断优化设计得到的。

桥的主跨离散化为112个框架单元。每隔24米用一对吊杆支撑起这座桥。贝尔特东其固有频率以及相应的振型中给出如下图—。在处理桥梁风稳性时，必须优先考虑桥面的桥面竖直方向的震动和扭转震动。引起震动的激振力的基本频率是0.106Hz。这相当于第一个垂直振动模式。

图3.大贝尔特桥有限元模型

大桥的结构性能是悬索与框架的结合，在结构中的垂直阻尼系统是一个具有可忽略弯曲刚度的吊杆。桥面结构的水平和扭转刚度同两端为矩形截面的框架一样。列出前三基本震动形式对应与结构的竖直，扭转和横向振动。分析结果的评估使用XFinas（Kim，2007）软件。子空间迭代法被用于特征值分析中。这些结果值与相应的由Larsen和Jacobsen（1992）实验得到的值相对比很精确。

图4.大贝尔特桥的竖直振动模型

图5.大贝尔特桥的扭转振动模型

图6.大贝尔特桥的水平振动模型

0.2%的瑞利阻尼比的分配需要考虑到结构的第一竖直振型和扭转振型，瑞利阻尼比的计算公式如下：

其中[C]表示结构阻尼矩阵，[M]是质量矩阵，[K]的刚度矩阵，alpha;_r和beta;_r是瑞利阻尼常数。

依据特征值分析结果对称竖向振动和扭转振动分别对应于omega;_H = 0.666 rad / s和omega;_alpha;= 1.954 rad/s时的固有频率，这两种振动模式在震动失稳的情况下有可能同时发生。两种振动模式的阻尼比都为zeta;_H =zeta;_alpha;= 0.2%。

瑞利阻尼系数计算式如下：

将omega;H = 0.666 rad / s和omega;alpha;= 1.954 rad/s代入式（9）会得到alpha;_r= 0.001987和beta;_r= 0.001527。因此，时域分析中的结构阻尼矩阵如下：

3.2气动导数

气动倒数是由Timothy (1992)依据节段模型试验得出的，此外，竖直和扭转振动的气动倒数如图7和8。非线性最小二乘法用于对阶跃函数的参数进行评，这些参数同试验得到的气动倒数一致性较高。

图7.贝尔特大桥的试验数据的阶跃函数回归曲线（i=1，...4)

图8.对大贝尔特桥实验导数逼近（i = 1，..，4）用指数函数。

表2.模态周期与振型

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