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声波对共振态磁性分子自旋状态的影响
G.-H. Kima
韩国首尔143-747世宗大学物理系
2010.4.15收到，最后截止接收日期是2010.6.24
2010年8月在意大利的Springer-Verlag 2010的EDP社会科学物理刊物上发表。
摘要：
由声波引起的拉比振荡已经被证明在共振态启动条件下会受到强烈的影响。我们计算出了正常启动条件的磁化的振荡动力学并且讨论了几个共振态磁化的量子拍。
第一章.说明：
有关纳米系统中的宏观量子隧道效应的研究在过去几年以来一直是一个饱受热议的的理论和实验研究问题。只要是在阻隔温度以下，每个分子都是一种纳米级的单畴磁性颗粒的磁行为表现一个磁铁的古典宏观性质。在足够低温的条件下，这些分子表现出来的逐步磁化曲线是由共振轨道的量子态，隧道轨迹干扰和领子经典交叉造成的。Landau-Zener理论被用来描述发生在扫描领域的自旋跃迁。在那种过程中，声子自旋耦合在单分子磁化动态中起到了重要的作用。
近些年来，在SMMS系统中由声子位移引起的自旋振荡由叫Calero 和 Chudnovsky的两个人所提出来，他们研究的是在超声前提下的分子磁体在自旋状态下的渐进式的拉比振荡。Later, Kim和Chudnovsky研究了在纵向磁场下的自旋振荡，这引发了声波的调制，并提出了在宏观实验中的拉比振荡的可观测性。然而，拉比振荡的前期工作仅仅是在被假定为基态的两个最低和初始的自旋状态下进行研究的。不同的初始条件通常会改变磁性分子的自旋振荡，也会因此描述性的去评估它在现代电镀实验下的振荡。我们在这篇文章里面应该考虑的初始条件的改变已经在纵向磁场条件下成功的运用了。尽管Kim和Chudnovsky研究了纵向磁场下的自旋振荡，但是他们不仅介绍了声波，还介绍了在初始状态下的磁场，还持续去把他们应用在共振的之前和之后。在这个过程当中，我们就在维护完共振场去启动自然状态下的启动条件后把声波放在了样品当中去，这表明拉比振荡一般是受场扫描和不同的共振态的影响。
文章组织如下：在第二章中我们介绍了在乳胶帧里的哈密尔顿的一般表达式。在第三章当中我们推导出了一个在一般初始条件下声波的有效波函数的分析表达式。在第四章中，我们保持在初次共振下的磁场并应用声波，提出了磁化强度取决于磁场扫描速度的的振荡结构。在第五章中我们通过采用在更高的共振态的松弛过程研究了拉比振荡的的变化。第六章给出了总结和结论。
第二章.基本公式：
我们一起考虑模型描述的自旋系统的SMM的哈密顿量，Si（i=x，y，z）是自旋算符的三个变量，D是第二个纵向各向异性常数，第二项是根据纵向磁场得出的塞满能量。
HSMM= minus;DSz2 minus; gmu;BHzSz Htrans, (1)
Hz是旋磁系数，mu;B是玻尔磁子。最后一项Htrans包含横向磁场区域和提供振荡轨迹的各项异性。
将横向沿着Y轴极化并且沿着X轴运动，一个包含着原本的旋转由公式[20]
，(2)
给出。其中和分别是频率，波矢量，幅度和横向速度。关于Z轴的的各项异性的旋转，把自旋哈密顿放到了实验室框架哈密顿量当中去，见公式[17,18]
，(3)
为了去找到在实验室框架下的波函数|Psi;gt;,介绍一下由
，（4）
联系起来的乳胶帧振动效应是很有必要的。
把它代到Scodinger公式中去，我们可以得到乳胶帧哈密顿量，
，(5)
其中的
。（6）
如果没有Htrans和声波，哈密顿量就被对角化带这个公式中去
，（7）
其中的。当我们根据在纵向的负磁场下开始在基态的，平面交叉以及发生在共振态的，的时候，在屏障两边的能量层是成对退化的，即E-S= ES-M。把哈密顿量中的横向术语纳入考虑的话，能隙在场中发生，这个将导致受阻碍的层发生在和这两个状态当中，哈密顿量将被投射到两种状态中去，会引出这种有效的哈密顿量
，（8）
这个地方的
(9)
在是共振水平下是分裂的，是扫描状态下的，并且，
，（10）
是拉比频率。注意到x和y坐标可以被视为参数，我们可以这样表达有效波影响
,(11)
对于aS-M和a-S的初始条件都受到我们所考虑到的环境的影响。
第三章. 在共振状态下的波函数：
为了去获得M级的共振状态我们首先得使样品处于饱和状态。磁场总是以一个恒定的速率c变化这知道达到磁场的期望值，也就是达到了（tlt;0）的时候。将这个磁场的期望值保持下去，我们开始去把声波放到样品中去然后观察当tgt;0的时候在两种速率下HSMM的自旋振荡：
。（12）
因此我们将考虑自旋动力学的磁性分子分为两个制度：(i)磁场的扫描制度在和(ii)当我们保持磁场恒定不变的时候声波引起的自旋振荡的扫描速度在情况下。
3.1
使用哈密顿量和与时间关联的Scodinger公式
，（13）
我们使公式中的a-S（-infin;）=1，aS-M（-infin;）=0就得到以下的解：
，（14）
这里的，，，，并且，D是一个抛物柱形面的函数。然后初始条件在t=0和x=0的情况下就这样表示：
图一：（线上的颜色）改变初始条件得到这个函数：，当（a）(b) ，（c），（d）.
在图一当中所表示的，a在t=0为即将到来的有效的开始条件在晶格框架中的波函数是依赖于现场扫描速度在gamma;0。对于对应于的低扫描速度获得（17），然而对于的高扫描速度是没有从到的这个阶段的过渡的，这会导致和。因此就会有中间磁场扫描的部分职业，gamma;0在0.01到1之间。在M级的共振态的情况下的过渡由公式。
3.2
自从x和y坐标能够被看做是公式中的参数，我们的讨论就能通过下面的哈密顿公式开始：
，（17）
这里的声波的空间依赖性将会通过将t替换成-kx/w被储存。因为我们都对两种状态之间的自旋振荡很感兴趣，所以将和的状态放到状态是很理想化的。然后给出了这样的公式：
, (18)
在这里的话
，
。（19）
采用旋转波近似的办法，我们发现通过以下公式给出的变换的波函数
, (20)
其中的，，，，。并且现在的频率可以这样定义：
，（21）
。（22）
将公式（20）这样写的话和，将公式（15）和（16）联系起来就可以得到早x=0的条件下：
，（23）
，（24）
这里的
，。
第四章. 在初次共振状态下的自旋振荡：
假设每个自旋都在声波到来之前在和状态下被分开，空间依赖性的概率就能够通过在公式中（23）和（24）中将t替换成-kx/w来得到。找到自旋在x=0的条件下的概率通过使用公式（4）、（12）和（20）
（25）
其中的
并且。同时，当M=0的时候，aS（0）和a-S（0）也在应用声波之前在公式（15）和（16）当中被引用了。正如在图表2当中所展示的，系统保持在情况的概率在频率以及更大的频率2w，当2起源于公式（25）和（26）是被给出。写下和，我们有由~62.6和~3.5所给的阶段。图中所给的这个阶段和这样一个简单的估计是相关的。频率不依赖于当t=0的时候由公式（15）和（16）所得出的启动条件，当针对gamma;0增加扫描速度的时候它的幅度就会降低。
接下来的话，我们再考虑一下第一共振的时候自旋的时候的期望值。M=0
（29）
当，，。使用公式（23）和（24）我们可以得到以下公式：
，（30）
，（31）
其中的
，（32）
，（33）
图2.（色在线）去找到当和0.1在x=0，S=10，，的状态的时间依赖性（）的概率。
注意到，有两个波向量k和叫做在状态下的拉比波向量。因此，自旋态占据数时空拉比振荡产生的时空晶体磁化的振荡。将特殊的和的期望值放到当中去，我们有在任意空间的时间依存性的期望值。
图表3说明了当磁场被应用在的状态直到到达一种脉冲的声音被引入时候的场景，保持在和的共振态。隧道分裂经常被认为对在这两种状态下创造生产的转变是足够的。状态最大爆炸性的特点是依赖于声波的频率和水平分裂是多近的节拍的表现。从频率的期望值来看，,公式（30）和（31）可以看出,估计这个阶段的节拍是有可能的。
图3：（色在线）z方向自旋投影的期望的，当x=0，S=10，M=0，，以及p，，这三个的期望值的时间依存性。在这个地方，当p=0.9,1.0和1.1时候的最大阶段的近似值是63,331,63。
将和S=10带到频率当中去，我们可以得到，662和62.5对于p=0.9,1.0和1.1等等的时候。大多数的时候是和这些估计一致的。然而，和p=1很接近的话，真实的节拍的阶段变成了的一半。正如公式（29）当中所描述的，的量子拍显示出了多种频率的结合性，在p=1的时候阶段去为阶段性变化寻找一个显而易见的理由是不简单的。拿p=0.995来举个例子，我们可以看到一些导致阶段变成的一半的指示，这一点在图4当中可以看的更清楚。我们也可以看到，对于p=1是不对称的，但是在图5当中是对称的。同时，去考虑对应于不同扫描速度的模型的情况是很有趣的。正如在图6当中所展示的，的频率是很少决定于t=0时候的启动条件的，纵向磁场的扫描速度提高的情况下它的振幅也会显著提高。
第五章. 在高共振状态下的自旋振荡：
另外一个概率对应于在突然饱和的模型的情况是，在这之后磁场处于一个共振态的饱和状态知道磁场强度达到和。然后，当保持共振场的时候声波被传递到这个模型当中去。在这种情况下，这个状态是当它在状态时候交叉的在初始施加的启动条件下提供重要的过渡。为了去研究这样一个问题，我们需要去了解状态到低能量状态的松弛的状态。将(j=1,2hellip;..，M)定义为状态的过渡，我们可以得到当在状态的哈密顿量：
，（34）
图4：的比较作为tau;对于不同的期望值p当gamma;0=0.01，q=0.01，M=0的时候的一种效应。记录下y轴的那个区间是10-15。
图4：p值当q=0.01，在文本中定义了的时候对于规模的时期，的依存性。
当从公式（17）当中得到，并且。在这种情况下去手机有效的波函数的分析形式是不可行的。因此我们将通过使用数值手段去对待我们的问题。用公式（11）来表达波函数，我们解决时间依存性的成为对于
图6：（线的颜色）当S=10，p=0.9，q=0.01的时候对于gamma;0=0.1和0.01的和tau;的对比。
图7：（色在线）在和0.01，在x=0，S=10，q=0.01,p=0.9及gamma;1=0.1的时候的。插图是当gamma;1=0.1时候的。黑线表示使用公式（25）使M=1时候得出的有分析结果。红线和绿线是通过公式（35）得出的数值结果。
以下两个不同的公式都是等效的Schrodinger公式（13）：
，
，（35）
这个地方的，并且。当这些激发态的寿命比要短，他们对应于以上的公式的就可以被忽略。正如上面提到的，在状态的自旋被分开，在这之后，振荡的频率的能量就被应用到晶体和维护的共振态中去，使。尽管波函数的空间依赖性通过在公式（35）中用t-kx/w替换t来得到，这样的依存性也不会改变有效波函数的形式。因此我们仅仅推出概率去找到在x=0的时候在状态由公式
，（36）
给出的的自旋，这里的
。
图8：（色在线）在，0.01，0.05和0.1的时候，在S=10，q=0.1,p=0.9及gamma;1=0.01的时候的和的对比。
正如图7当中所显示的，振荡的衰减动力学在增加扫描速度的情况下变的更加明显。当磁场的扫描减小的话，它的振幅在激发态的共振态中被极大的抑制。
现在让我们来考虑一下这个期望值在高共振状态下z轴的自旋的投影，
，（37）
这个地方的。我们为了选择和而数值化地解决公式（35）。在过阻尼系统下，，我们不能发现拉比振荡。在低阻尼系统下，，数值解决方案在图8中已经说明了。当扫描降低之后，振荡动力学就消失了。不同的共振的行为的比较在图9中已经给出了。在以前的共振状态下和耗尽的情况下，提高共振态，状态下的振幅就会显著降低。同时，的阶段在更高的共振态变的更大。这将通过记录拉比频率很容易被理解，将在高共振态变得更小。
在总结之前，我们通过声子来讨论一下哪个将会对可行性的影响的退相干。根据自旋-晶格相互作用的对于退相干的下界能够被预测为自旋声子基态的。把，~1nm，~1g/cm3lt;
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