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冲击双线性振子的软接触动力学数值模拟
摘 要
由可间歇接触的移动部件组成的系统可以使用包含分段线性项常微分方程的系统进行建模。通过我们获得的响应分岔图、李雅普诺夫系数图、返回图和响应相位图，我们考虑其为一个软冲击双线性振子系统。除了李雅普诺夫系数图，分岔图在接触的两个无量纲时刻来表示（当质量影响障碍物时），接触持续时间的部分（当材料点是障碍物内部的百分率时间间隔）与无量纲外力频率（或振幅）的比。由于接触的持续时间（或互补的飞行持续时间），大量的第二种图表是非常必要的，它可以很容易地在一个实验中进行测量从而确认本模型的有效性。李雅普诺夫系数是用来求解从而将常微分方程的分段线性系统转换成一个图表，即所谓的冲击图，其中，对应于给定撞击时间和速度被计算为对应于前一冲击的时间和速度。因此，与最后一张图相关的常规方法被我们使用。该轨迹的回报图来表示和相图（在轨迹本身的位移速度平面）（涉及影响的事件时，速度平面上的所有点）。在分岔图，不同的响应之间的过渡被证明与定期的不规律运动吸引，并且发现了最大李雅普诺夫系数的正（负）值之间的相关性。
1. 介绍
研究工作已经为非光滑系统花费了很多理论和非线性动力学的应用 [1-6]。在非线性动力系统的宽泛范围内，分段光滑系统（PSS）发挥了重要作用，并且可以被划分为连续的或不连续的PSS系统[5,7]。最简单的不连续系统是自1958年研究了一个电子钟的振子影响学说[8]，同时研究了最近的理论和数值工作的情况，例如见[9-14]。最简单的连续系统是分段（或双线性）振子，这是由肖和霍姆斯[15]的一项重要工作对象，并也于近期在多篇论文进行分析，例如见[16,17]。
软硬冲击的影响都已得到考虑。对于刚性冲击的简单机械系统基本周期性运动的精确解，刚性连接到系统的一个正弦激励初级质量，用Blazejczyk-Okolewska和Peterka [18]解析而得。Blazejczyk Okolewska等[19]确定了周期运动的周期与影响和双学位的自由度机械系统周期解稳定性；质量和刚性基础之间的撞击通过恢复系数来描述。Peterka和Tondl [20]涉及的分析，通过数值模拟，具有软冲击单自由度机械系统的运动；恢复力的特征在于三角形磁滞回线和在外部激励是一个谐波力。亚谐运动影响的特征量纲在激振频率和静态间隙的平面的次区域，呈现出运动响应的不同。
最近，各种类型的软冲击系统已经由Ma等人解决。[21]通过实验和/或数值方法，在动态相关的二维映射分析框架中解决。在作者的研究中，使用分段系统的复杂分析映射中我们提到Luo[22]、Pavlovskaia和Wiercigroch[23]。
在这项工作中，我们也涉及使用软冲击双线性振子。其中，除了其自身的影响，还旨在表示一个单度均匀质量悬臂梁振动的第一模式的自由（单自由度）模型的影响，实验研究在[11]。我们的目标是找到这影响确实发生不稳定或周期运动的条件。为了这个目标，我们用冲击的图表，它对于研究摩擦和低速的影响有限，不能发挥作用。为了将周期性和不稳定轨迹区分开来，我们使用李雅普诺夫系数。李雅普诺夫数（指数或系数）附近测量轨迹的平均角度。不稳定系统通常定义在相关的最大李雅普诺夫系数为正[24]的条件下。
对于由光滑微分方程和离散图描述的动力系统，李雅普诺夫系数的计算十分可靠[25]。对于非光滑动力系统，我们有米勒的研究工作[26]认为推广平稳动力系统经典技术。另外还有斯特凡斯基的研究[27]，他使用不稳定同步的论文，另外还有Galvanetto [28]，他使用的定义平滑的先验图。此图是在前述的不连续的形式给出在非平滑动力系统的结论是在有一定不连续性的情况下用这样的方式定义的，它也被用德索萨和卡尔达斯用来研究[13]。在[13]中，作者应用在[25]开发了离散映射到这个新的先验地图的方法。他们将此想法应用到实例，在产生影响振荡的情况下，并对系统产生影响。目前的工作的新颖之处在于使用德索萨和卡尔达斯的冲击双线性振荡的情况下的技术应用。我们注意到这个应用程序的技巧在于要定义的超验的地图是两个：一个图对应每个问题平滑区域，即接触和飞行区。此外，我们通过在在障碍物的附件和材料点的脱离的时刻计算出的数值的形式，以及李亚普诺夫系数使用雅可比矩阵的方法来研究轨迹的稳定性。
这意味着，分析整个过程中每一个点通过它的特征值来计算稳定性是不可能的，参见[14]，而对这样的轨迹周期的经验假设，参见例如[15]。这就是为什么我们将通过使用雅可比的适当形式数值计算轨迹的稳定性的原因。
为了追求类比为悬臂梁的响应，不仅弹簧具有在目标的两个平滑区域的两个不同刚性，而且阻尼器具有不同的衰减系数。弹簧和该系统的阻尼模拟悬梁;弹簧和阻尼器建模障碍（以模拟障碍物的硬度）和衰减系数（为了模拟撞击事件期间的能量衰减）具有较大刚度的值。我们注意到，在冲击振子模型中，障碍物和冲击物体的能量分散硬度被建模，分别在后者的影响下瞬间发生，并且单个恢复系数低于1。
本文的结构安排如下。在第2节我们提出分段常微分方程的有量纲和无量纲的设定方法，我们在本文的其余部分也有论述。在第3节我们描述了迭代求解方法，并推导出超越图和他们的雅可比矩阵。在第4节将李雅普诺夫系数和它们的计算数值方法一起论述。在第5节，我们通过对返回图和分岔图的研究提出了系统抗冲击响应的详细参数分析，并描述了一些相关的过渡方案。我们的结论在本文第6节。
2. 系统描述
2.1 量纲方程
在本文所考虑的分段线性振子是由以下微分方程表达的质量弹簧阻尼系统，
其中x是位移，从具有刚性ks的弹簧在时间t和具有质量m的材料来看，在无应力构造中，点表示相对于时间的导数，F0sin(wxt)是外部正弦力; c(x)是衰减系数和k(x)是由系统的弹簧所施加的力相反。在为了模拟撞击事件的发生，c(x)和k(x)是定义如下x的2分段函数，
其中，delta;是间隙的振幅，即从障碍物到该点的距离，在刚性Ks弹簧的未受力情况下。所述o是指具有刚性Ks弹簧和衰减系数Cs阻尼器组成的系统。该系统是指障碍；障碍物通过用刚性k0，其无应力的情况由间隙d从具有刚性Ks弹簧的无应力的情况移动，并通过与衰减系数共同的减震弹簧模拟。都与高刚性弹簧和衰减系数共同阻尼力施加，仅当xgt;delta;的情况下，分别与-k0(x-delta;)和-c0x相关。
通常，参见例如[15]，涉及到的障碍物的衰减系数被假定为零，c0=0。然而，在冲击过程中，能量耗散比影响不大。因此，假设
上式将在本文被考虑。由方程描述的模型的图形方案。（1）-（3）在图中给出。1.对于分段线性常微分方程方程。（1）-（3）的解析解是在其中xne;delta;的区域可用（在给出（1）-（3）光滑的条件下），其中（1）-（3）和初始条件delta;。最复杂的问题是从Xlt;delta;到xgt; delta;，并且反之亦然，他们时刻在此计算此数据，论文的整体框架是基于一致的移位，虽然分析了问题的解决方案，也可以在适当的条件下实现，例如见[18,29]。
2.2 无量纲方程
这个分段线性系统的特征尺寸的间隙delta;，该点的质量m和刚性Ks系统的弹簧。随着我们定义了所有我们在本文使用的无量纲量这三个值，这将使用带有一个波浪线的类似符号来表示，即
使时间导数运算符和功能定义在（2）和（3）中。
并明确分段线性微分方程要解决的问题如下，
图1表示与刚性KS弹簧的分段线性振子（或双线性振子）。图中所表示的所有量是立体的数量。与刚性KS春，与衰减系数Cs，质量m和外部正弦力F0 sinxt阻尼活跃在每个地方。与刚性k0弹簧和衰减系数共同风门是仅当位移x大于间隙d时有效。
类似的无量纲-过程也用于在[12]。从现在起，为了简化和提到不同时除外起见，我们将压制波浪线中的符号，与无量纲时间导数将来表示像通常的时间的导数运算符，即通过在要导出的函数的点；尽管如此，所有的问题将根据本款的规定被认为是无量纲。
3 庞加莱截面和问题的解决方案的迭代过程
3.1 庞加莱截面，返回图和相位图
对于二阶非自治常微分方程式。（1）的相位空间P是三阶(t,x,x) isin;P这个空间的。自然的2D部分在x=1，其中连续，见方程（7）-（9）所示。庞加莱图部分的Er在本文定义如下，
因此使得庞加莱图的部分Er是由一对(tm,xm,) isin;Er所代表的一个点，
让我们标注一下，由于时间t只在功能sinwt控制方程中明确地出现的参数运算而不缺乏一般性的完成，在右手侧（7），即周期同期的2pi/w在参数化操作中考虑。这种参数化操作允许我们表示其中被称为返回图紧凑图表庞加莱图的Er部分的Er的点。
切相空间P的另一个空间是在t=tcgt;t0gt; （Tc不变）。在这种情况下，庞加莱图部分的Er定义如下，
对于每一个无量纲时间常数tc，我们在(x,x)公示上上有一分。如果用tc作为曲线参数图通常被称为相图。
3.2 从初步求解到迭代求解的方案
如果初始条件被以这样的方式选择该点而不接触障碍物(xne;1),此问题的解决方案是在第一次冲击之前是无效的。否则，没有缺乏一般性，我们选择的间隙，即在初始状态下，在初始无量纲时间t=t0时，我们包含X=1。如果初始量纲速度为正x0gt;0，则普通要解决的微分方程是由获得（7）-（9），为
如果初始速度为负x0lt;0，则所要解决的普通微分方程，从已知的公式（7）-（9），为
差分方程。（13）、（14）、（15）和（16）可以通过分析来解决。
返回图的Er的点0由初始条件(t0,x0)给出。点1（t1,x1），通过x(t) 的解（13）和（14）推导出（如果x0gt; 0）或（15）和（16）（如果x0lt;0），它是由下列命题定义的，
点2(t2,x2)返回图的Er的推导的方法相同。让我们标记该序列(x0,x1,x2)，返回图的Er具有标准的互换量纲的速度，因为如果对的Er材料点的第（i 1）个点的Er穿过障碍物，则反射器的Er点的材料点穿过障碍物，反之亦然。具有零初始速度的可能性是由（17）排除在外的，换句话这个现象是被包括在飞行运动的相位，因为我们感兴趣的是改善障碍渗透的非一般情况。此外，由于 (to,t1,t2,hellip;)顺序对庞加莱图部分的Er量纲有倍数影响.Er是整倍递增的，Er这个属性定义在规定的返回图（11）中，因为模块化操作，可以绕过。在论文做数值模拟的正式报告将在下一节中给出。
3.3 迭代求解方案
除了不缺乏一般性，让我们假定点(2i)(t2i,x2i)上的Er使得x2igt;0。为了评价在Er上的（2i=1）(t2i 1,x2i 1)点，差分方程（13）与初始条件（14）给出了与功能x0表示的解决方案，（读O作为障碍物），定义如下，
其中，v0(t,t2i,x2i)是，因每次时间间隔内[t2i,t2i 1]点和t2i 1的量纲速度是第一量纲时刻（在t=t2i后）时的无量纲位移x(t)再次到达该间隙的值点x=1，
功能的解析表达式x0的和是复杂的，但他们可以通过一个清晰的模式来确定（例如参见3.2节）。因此，无量纲速度在无量纲时间t=t2i 1值由x2i 1表示，
因此使该点(2i 1)(t2i 1,x2i 1)在Er上是计算后的。为了计算在Er上的下一个点(2i 2)(t2i 2,x2i 2)，差分式（15）与初始条件（16）给出的功能xs（读作S为系统），定义如下，
其中，vs(t,t2i 1,x2i 1)是无量纲的时间间隔内的，点和t2i 2的量纲速度是在第一量纲时刻时的无量纲位移x(t)再次到达间隙x=1时的值，
功能xs和ts的解析表达式是复杂的，而且是通过一个清晰的模式确定的（参见例如3.2小节）。在无量纲时间、量纲速度ts的值由x2i 2表示，
为使该点在Er上能计算。
上述过程被重复用于每个i中。我们先从i=1开始，从0点开始，我们计算点1,2等各点。
3.4 返回图及其雅可比
这个过程解释的在前一小节的说明用于定义以下返回图，
其中P是带有一个点(t2i,x2i)计算的，在Er上的点（带正量纲速度），以及下一个点(t2i 2,x2i 2)上的Er（带正量纲速度）。为了计算返回图P的形式中，第一步骤是获得耦合的函数(t2i 1,x2i 1)作为(t2i,x2i)的函数。
其中，F0和G0是从公式x0和v0推导的功能公式，如公式（18）。第二步骤是计算一组(t2i 2,x2i 2)，作为(t2i 1，x2i 1)的计算公式。
其中函数Fs和GS是从功能xs和ts在方程（23）中推导的。因此，返回图被完全定义如下，
其中函数F和G是返回图P的两个组成部分，并且为了求解F0,Fs,G0,Gs，在功能方面是在公式（33）和（34）中自定义的。
有趣的是，计算雅各宾解; JS和J在（29，30）（31,32）和（33,34）所分别限定计算。
关于Fo和Fs的分析表示是无法找到的，因为从（20）的条件和（25）可以看到
通常不是在我们的情况下是可逆的。事实上，我们的调查并不局限于发现运动的周期解，请参阅Blazejczyk-Okolewska [19]等的论文。另一方面，（36）的衍生解，可以通过分析计算，一旦该功能在（36）中使用，
我们在（37）的表达式中得到的解是分别相对于t2i和x2i的，我们
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