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双线性滞回系统在周期性荷载作用下的漂移响应
Ching-Tung Huanglowast;, Shen-Yin Kuo
建筑工程系，台湾大学的科学和技术，台湾
摘要：
本文对周期激励下的双折线性滞回模型结构的响应特性进行了研究。该周期激励由一个简谐函数和恒定荷载组成。论文所给出的位移解可以显示出在刚度屈服后的情况下在简谐激励频率处的位移漂移效应。根据不同的滞回响应行为，周期性漂移响应可分为三大类型。提出了一种基于加权法的近似求解方法来分析每一响应回环的漂移幅度。所假设的响应形状是两个波函数组成，每个波函数的频率都和激励频率略有不同。随后给出了一阶分析方法，可以得到一个解析近似的漂移响应。通过两个例子包括无阻尼和有阻尼的漂移频率分析，说明了所提出研究方法的良好预测性能。
关键词：漂移;滞回系统; 稳定状态;非对称系统
1.引言
结构系统经常遇到的静态偏心载荷或非对称力-变形关系，它很难通过一个对称公式表达出来。当受到动态激励时，一个非对称系统是容易出现偏向其弱方向的响应。如果另外屈服又刚好在具有恢复力的构件中发生，结构的循环运动可引起反复地进入非弹性范围，从而形成一个渐进的位移漂移，因而位移的延性会得到显著的积累。延展性的积累通常非常难以量化，并且由于其上的激励特性的依赖性较强，系统漂心和在结构复杂的屈服机构以及水平是高度不可预知的。在工程界也有关于这类动态响应的关注。在他们的专著，Housner和詹宁斯表明，这种渐进的非弹性位移结构系统的潜在威胁和建议足够的延性规范需要作为抗震设计准则，确保结构安全的实现。
增量漂移反应也已在一组关键管道部件的进行的动态试验的结果观察到。在测试中，管件是附接到装载有漂压重量悬垂惯性臂。模拟地震激励具有不同主要频率然后通过底座提供。一些测试导致了即将来临的系统崩溃，由于渐进的漂移反应伴随着过度的旋转反应。增量位移响应后来转载通过非线性时程分析测试系统，得出的结论是由于与大P–Delta;协同效应过度持续荷载效应是漂移的主要原因。然而，频率效应的增量漂移过程中相关的激发强度和最终恢复系统的恢复能力，研究为基础的分析所掩盖。
尽管它的工程意义，只有有限的理论研究，非对称的动态系统，其中大部分是放置在随机振动的背景下。斯潘诺斯率先在非对称恢复力的非线性系统的响应统计调查。本次调查结果中的等效线性化解决方案的推广。这项研究结果表明，非对称系统可能会导致在响应平均统计的漂移量，通过对比度的对称系统获得的零均值统计。更相关的当前利益的问题，在非零的分析意味着迟滞系统随机振动是由巴伯[ 5 ]为平稳和非平稳激励。他的研究结果表明，滞后系统的平稳响应表现出滞后移位，这一转变可以制定成反比的后产生的斜率。因此，该系统可能永远不会到达一个固定的解决方案时，屈服后的刚度是不存在的。尽管从这些调查的结果，频率的影响是没有充分解决，由于广泛的带状激励假设在这些研究中。此外，在极限情况下的响应行为的限制的情况下，屈服刚度还没有充分探讨。
研究非对称滞回系统增量漂移响应特性，是本文研究的主要目标。假定系统的非对称性来源于一个静态的持续负载，以确定的谐波函数作为激励形式，直接访问激励频率的影响。谐波激励，也可以用来模拟一个长时间的瞬态激发表现出非常窄的带状光谱内容。它示出在本文中，一个周期性的增量漂移过程中可以开发的响应下的限制的情况下，与弹塑性滞后。一种近似的解决方案，然后提出估计的漂移频率解决方案。
2.系统描述与响应特性
许多外部激发持续荷载作用下的滞回系统可以被描述为一个单自由度系统的响应变量z（t）是由
（1）
G（z，˙Z）是一个对称的恢复力理想化的双线性滞回模型，P（t）是一个可以简谐激励和PS是一个恒定的持续负载。方程（1）也可能来自于一个分析迟滞系统非对称屈服力在持续载荷条件是由于从复位平衡中心从而产生一个对称的系统恢复力。一个类似的等式方程（1）也被用来研究一直管道的悬垂的惯性臂漂置量附地震扭转反应。在这项研究中，持续的负载是由漂置重量矩线性化的平衡中心的诱导。
让时间的激励是一个谐波负载。继开发了一个正常化的过程中，式（1）可以排列为
（2）
其中x（·）是一个独立的响应变量，Fs是一个归一化的持续负荷，被认为是“小”，F0是归一化的激励强度，omega;是频率比参数定义为励磁频率为固有频率，f（x，xrsquo;）表示具有单元屈服力双线性滞，单元初始刚度和屈服后刚度比alpha;。为alpha;= 0的特殊情况，双线性滞回模型成为一个弹塑性滞回模型。通过这种规范化、近共振条件的omega;asymp;1。不失一般性，该系统被假定为无阻尼除非另有规定。
说明式的响应特性（2），一组位移的时间历程和滞回曲线在零初始条件如图1所示。该反应是根据一组选定的和随着F0 = 1和Fs = 0.1。要避免任何可能的数值误差，精确的分段式解决方程（2）求解及滞回循环迭代的过程在一个非常精细的分辨率。在数据中，有一个明显的静态位移在omega;= 1.6响应漂移。此漂移量主要是因为在早期的反应阶段，该系统已被驱动进入非弹性范围。然而，随后的大时间响应基本上是线性的，可以被调谐为周期性的选择适当的初始条件。除了omega;= 1.6的情况下，与alpha;= 2%和5%的每一个相关的反应是观察到达到稳定状态，有一个移动的平衡中心。这种转移反应相关的问题可以被视为一个确定性的扩展的随机激励的已经由斯潘诺斯深入研究非对称系统。经典的稳态理论开发的书结合理论与非对称系统可以直接实现解决转移稳态响应和它的解决方案不构成一个具有挑战性的任务。特别注意给alpha;= 0%例。除了omega;= 1.6，所有其他的弹塑性系统显示一个漂置漂移响应的峰似乎随时间线性增加。漂移响应被发现重复频率相同的激励频率。此外，滞回循环的行为被看作是 -响应的形状依赖和变化是巨大的。在续集中，重点将放在分析的弹塑性的情况下的响应。
为了方便讨论，上述位移响应称为准周期（QP）叠加漂移响应了。QP的反应可能是数学定义为
（3）
在T= 2Pi;/omega;是响应周期，D是每个反应周期漂移幅度。由于不同的循环行为，QP的反应是进一步分为三种，即QP（I），（II）和QP QP（III），其对应的标记图1。QP（I）的情况下指的向后和向前运动发生屈服所omega;= 0.8块。与omega;= 1.4的情况下是一个典型的QP（II）只有向前运动的驱动进入屈服阶段。QP（III）是这些反应表现出单个或多个在一个响应时间内部循环定义。循环形状的omega;= 0.3响应提出了这样的情况下，但绝不是唯一可能的情况。
位移（x）
周期数（omega;tau;/ 2pi;）
恢复力(f)
weiyi位移
位移（x） 位移（x）
这些瞬态分析表明驱动系统为QP模式仅在2–3响应周期。此外，一旦一个系统被困在QP模式它停留在它只要在励磁周期持续。这一观察表明，QP的反应是一个强烈的吸引力，“稳定”的反应模式。为了进一步探讨在定性和定量两方面QP响应，给出了误差估计的一种近似方法，重点将放在QP（I）和（II）QP。
3.近似法
加权残值方法为QP响应过程获得近似漂移–频率的关系。假设响应的形状是由两个级联谐波段每一个响应频率略失谐激励频率。两者的响应段的振幅被视为变量，以产生一个漂移机制，在一个响应周期结束。假定的位移响应中的不对称性质如图2所示，其中所选择的相关坐标系也被绘制。
该分析可以与第一半周期响应（向后运动）启动。让theta;是关系到有关的时间变量tau;和phi; 通过
（4）
假定的位移是
（5）
其中，A1和zeta;1分别是振幅和环状中心，并表示其值被假定为接近一致的频率失谐参数，并且比团结大多数情况下更大。由于屈服力和刚度都统一，反应幅度等同于以下的屈服体系中的传统定义的延展性。代入式（5）代入式（2），运动的前半周期响应方程可以表示为
（6）
在f1（A1，theta;）代表恢复力与位移的近似性。代入式（5）代入式（6），分别得到的方程乘以cos（beta;theta;）和sin（beta;theta;），并进行平均运算theta;范围从0到_x0005_ pi;/beta;会给
（7）
（8）
（9）
（10）
需要指出的是，在右边方程条款。（7）和（8）都包含一个可移动的奇异性beta;→1对应于Fs→0例。一个限制的分析表明，这些条款将分别逼近F0 cos（phi;）_x0007_和minus;F0 sin（phi;）符合什么导致从一个标准的稳态分析。
图2。响应形状参数和坐标系的定义。
类似于向后运动分析，第二个半周期的位移响应（向前运动）被认为是
（11）
在A2，zeta;2，theta;和beta;定义在类比，给出了反向运动。因为总的响应时间等于兴奋期，失谐参数beta;不是一个自由参数，但依赖beta;的
（12）
循环中心将zeta;2 = zeta;1 （A2minus;A1）满足位移连续条件。通过公式（5）和（11），无论是位移和速度响应，都是连续的，在两者的反应段的配合下，但对于加速度反应的连续性可能不是有效的。然而，这种不连续性在加速不实施近Ritz–Galerkin模型构成了严重的限制。因此，第一个半周期的运动方程表示为
（13）
在上面的方程，不仅A2也出现在了A1恢复力f2因变量（A1，A2，theta;）。A1的外观是考虑到可能的QP（II）的情况将得到解决后。重复正交投影过程中通过选择minus;COS（beta;theta;）和minus;sin（beta;theta;）作为加权函数，导出另一个方程与运动有关的
其中
（14）
（15)
类似于向后的运动分析，对方程右边的条款。（14）和（15）也将分别接近F0 COS（phi;）和minus;F0sin（phi;）为beta;→1的限制的情况下。
方程（7） - （8）和方程（14） - （15）是用于求解四个未知的响应变量A1，A2，phi;和beta;的四个从属方程。基于该假定响应形状，每个反应周期D漂移幅度仅与A1和A2变量通过下列公式：
D = 2（A2minus;A1） （18）
四个依赖方程的解需要在续集中的分析表达式Ci(A)和Si(A)。
QP（I）：恢复力–位移关系
（平衡位置xi;任意移下）
图3。恢复–QP力位移关系（I）。
4.评价Ci(A)和Si(A)p
推导Ci（A）和Si（A）程序分别给出对于QP（I）和QP（Ⅱ）如下。
4.1 QP（I）（A1≧1）
这种反应型假设A1≧1。这意味着落后和向前的运动被驱动到的屈服水平如图3所示。在图3的帮助下，恢复力的表达式是由
（19）
（20)
用于向前运动。在式（20），该恢复力是显然不是A1的功能，但是这不会是QP（Ⅱ）的情况下入代方程。 （19）和（20）到方程（9）和（16），并进行数学积分将导致
（21）
（22）
4.2 QP（II）（A1lt;1)
QP（二）假设A1＜1如图4所示。再次使用图4所示的位移和力的表达式，导出了向后运动的强迫函数
(23)
把（23）代入方程（9）和（10）将给出
（24）
对于向前运动，恢复力可以表示为
（25）
代式（25）插入方程（16）和（17）以及执行的集成将产生
QP（II）：恢复力 - 位移关系（在平衡位置xi;任意移）
图4. QP的恢复力 - 位移关系（二）
上述分析表明，假设形状函数的许多显着特征。首先，它提供了封闭的形式，但CI简单表达式Ci（A）和Si（A）可以根据分类确定一个QP。其次，失谐响应频率处理作为一个变量，使各种各样的非对称反应的形状被充分模拟。此外，一段段的段正交投影可以直接实现的标准稳态分析。然而，当其他的假定的响应形状
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