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在垂直人群与结构相互作用下人行天桥的模态特性变化分析
Javier Fernando Jimenez-Alonso ; Andres Saacute;ez ; Elsa Caetano ; and Filipe Magalhatilde;es
摘要：本文提出一种生物力学人群-结构相互作用模型,进一步实现充分估计行人之间的能量交换和人行桥。该模型着重于垂直方向的振动, 并且它为了考虑因人群存在下结构的模态特性的变化，从而提高了在人群作用下的结构响应的数值估计。模型包括了两个子模型，即人群-结构相互作用模型和人群模型。第一子模型遵循具有两个自由度系统的模态投影，它能模拟在结构振动模式下每个行人的行为。该模型的参数是按照一个真正的人行桥的加速度记录估计的。第二子模型,人群行为是通过可替换主体的方法模拟的。生成的整体模型的表现是通过实验和在不同的人群控制步伐频率下真的人行天桥的数值动态一起评估出来的。特别是，对于人群和人行天桥相互作用所引起的第一固有频率的改变进行了详细讨论。这个模型所得出的数值结果和实验结果相当符合。因此，它是一个很好的方法去估计在人行天桥上人群和结构相互作用模态特性变化。DOI: 10.1061/(ASCE)BE.1943-5592.0000828.copy;2016 American Society of Civil Engineers.
关键词：简化的生物力学模型；人群和结构相互作用；人群动力学；固有频率的变化；人行桥
引言：在过去的15年里,已经由科学界重大努力,充分描述在人群流动下的人行天桥的动态响应(Racic 等人. 2009;Zivanovic 等人 . 2005年)。虽然在规定的人群荷载下的研究取得了重要进展(Butz等人. 2007;SETRA/AFGC 2006)，但是在人群与结构相互作用的一些方面还有很多问题，仍然我们值得关注。人群与结构的相互作用问题的研究是根据三个关键方面进行的。第一，描述每一个行人所产生的行走荷载；第二，描述人群与结构的相互作用；第三，在人群中描述行人之间的相互作用。这样,研究最初的关注重点是总结出一个行人行走所产生的荷载计算表达式 (Zivanovic等人. 2005; Butz 等人 . 2007年)。然而，在简化后模型的计算中，该表达式没有显著的优化在行人流动下人行天桥的响应数值估计；因此,需要新的因素来改善这些模型。从这个意义上说,对千禧桥广泛的研究(Dallard et al . 2001年)表明行人流动对结构的影响不仅涉及一个行人行走所产生的等价力也包括结构的动态属性的修改。后来的研究进一步支持了这一结论(Ingolfsson 等人.2008)，行人被认为是活动的阻尼力,增加了整体结构的阻尼。在这之后，文献中提出了几种关于人群与结构相互作用下的建模方法。第一个模型的主要思想是将行人等效为一个活动的粘性阻尼器(Georgakis 和Jorgesen 2013)。其他模态参数随后被认为是互动现象,这导致了用单自由度的(应用)系统来描述每个行人的行为(Shahabpoor 等人. 2013年)。根据这些模型,得到了每一个行人通过桥时需要修改的人行天桥的阻尼和刚度矩阵。
相比之下,因为需要正确地描述行人流动激励下结构的动力响应和研究行人如何在人群中相互做用 (Zivanovic 等人. 2010年)。所以,就需要得到人群中行人的步行频率的统计分布 (Venuti 等人. 2007年)和步行速度和步行频率之间的关系(Bruno和Venuti 2009)。在这段时间里,该模型已经优化为从宏观上到微观上使用的方法;虽然一个人群中人流量最初是用流体力学定律来模拟的(Venuti等人. 2007), 但是目前使用的是通过考虑每个行人在其环境下产生的相互作用力来建模的质点动力学建模(Carroll 等人 . 2012年)。
目前,出现了几点能直接或间接解决前面提到的三个关键方面的建议(Venuti 等人.2014;Tavares 等人 . 2014年)。在所有这些提案, 人群与结构的相互作用模型是通过两个耦合的子模型来模拟的:行人和结构相互作用模型和基于可替换主体人群模型理论。在这篇文章中,提出了在垂直方向一个新的人群与结构的相互作用模型。现有的模型代表一个优化提案,旨在改善之前提到的一些作品中的缺点。该模型包括两个子模型：行人和结构相互作用子模型在代替行人时遵循有两个自由度系统的模态投影，该模型中，在结构振动模式下行人的质量将被分在有弹簧的模块上和没弹簧的模块上；人群行为是通过一个可替换主体的子模型模拟的，该模型中每个行人的运动都会产生相互作用的力。这种物理的相互作用力是用来更准确的评估在高行人密度时的人群行为。在垂直方向上联系这两个子模型是通过设置一个停止阈值这样的方式来实现的，即当加速度超过某个值时，将会停止影响行人。关于人群与结构的相互作用模型的参数的估计是在一项在Viana人行桥(Viana do Castelo,葡萄牙)上进行的行人实验结果的基础上得出的。人群与结构的相互作用模型在逐渐完善，在随后的相关实验中和在Viana人行桥上的一项50人的实验中都表现出了很好的性能。最后,该模型被应用到研究由于人群与结构的相互作用下Viana人行桥的第一个垂直振动的数值变化。
本文的内容如下:首先,由人群与结构的相互作用模型提出了行人和结构相互作用子模型和人群子模型，以及两个子模型之间的相互作用的机制；其次，提出了用于描述行人和结构相互作用子模型的实验评估参数；然后，通过相关实验和在真正人行天桥上的实验结果数据都证明了人群与结构的相互作用模型的有效性和准确性；最后，一些结论被得出并记录。
值得一提的是,该模型可能会进一步被用来预测人行天桥发生的外侧锁定现象或提高在人行桥出现振动问题时控制设备解决问题的效率。
提议的一个在垂直方向简化的生物力学人群与结构的相互作用模型
完整的人群与结构的相互作用模型包含两个单独的子模型(图1),一个用于行人和结构相互作用 (包括行人和人行桥的动态行为),另一个用于人群。
人群与结构的相互作用模型通过一个简化方式将所有的行人对人行天桥影响所产生的动态效应(惯量、阻尼、刚度)在建模中表现出来。每一个行人所产生的垂直加速度都能从这个模型中得出。
人群模型是描述一个个体的行为模型,它提供了一个描述行人的位置, ,行人速度,,和行人步频率、,这使的它能模拟人群的整体行为及其对人行桥的动态行为的影响。
对于每次迭代,人群模型确定每个行人的位置和速度；这两个参数作为行人和结构相互作用模型中的输入参数，用于定义每个行人的频率和行走力量,从而获得作为输出行人垂直加速度；每个人的步行速度然后根据每个行人的水平加速度来进行修改；最后带入更新后的行人的位置与速度，重复以上步骤(图1)。
建立在垂直方向的行人与结构相互作用模型
拟议中的在垂直方向的行人与结构相互作用模型遵循在简化相互作用模型（图2）中弹簧上质量和非弹簧上质量的动态平衡方程 (Clough和Penzien 1993;Dominguez 2001)。在本文中这种方法已成功的被作者广义的应用于修改由于人群与结构相互作用所影响的行人速度(Jimenez-Alonso和Saacute;ez 2014)。
考虑系统、结构和行人模型的平衡,获得了耦合方程如下:
=啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(1)
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊 (2)
啊啊啊啊啊啊啊啊啊(3)
其中是弹簧上的质量（单位kg）；是非弹簧上的质量（单位kg）；是行人的总质量（单位kg）；是弹簧上质量在垂直方向的绝对位移（单位m）；是非弹簧上质量在垂直方向的绝对位移（单位m）；是一个行人的等效刚度（单位N/m）；是一个行人的等效阻尼（单位sN/m）；是由于行走产生的垂直行人荷载（单位N）；是行人和结构之间的相互作用力（单位N）；是振型为i时的模态质量（单位kg）；是振型为i时的模态阻尼（单位sN/m）；是振型为i时的模态刚度（单位N/m）；是数值振型为i时的垂直分量；是行人的纵向位置（单位m）；其中是行人速度矢量的纵向分量（单位m/s）。
根据公式3得出，的表达式如下：
啊啊啊啊啊啊啊(4)
再将公式4代入公式1中得
(5)
结构和简化人群模型之间的位移、速度和加速度的相容性方程被应用于接触点上。
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(6)
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(7)
啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(8)
在忽视行人速度变化的情况下，上述这些公式能变成如下方程:
=啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(9)
= (10)
= 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(11)
=啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(12)
=啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(13)
其中是i 振动模式的第一空间导数而且它还是i 振动模式的第二空间导数。
方程（6）—（11）是代替整体的动态平衡方程，因此带到公式（1）—（3）中，并写成一个矩阵形式,得到以下的矩阵公式(见附件我为矩阵公式)：
M(t)*(t) C(t)*(t) K(t)*z(t)=F(t) 啊啊啊啊啊啊啊啊啊(14)
在前面的表达式中，当行人没有作用在结构上时，数值振动模式的值是0。
=0 for 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(15)
其中L是结构的长度。
数值振动模式是通过使用相应的有限元方法得到的一个离散方程，如下：
=啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(16)
其中是形状函数，是节点的值。
虽然本文只是主要讲述了在垂直方向振动，但是该模型的公式还能推广到另外两个自由度方向（纵向和横向），通过在横向和纵向上修改相应的行人荷载和每个方向的模态参数的值来定义TDOF行人模型。就这样，由此生成的模型适用于更一般的三维问题，而且它还可以考虑在三个空间方向上可能的相互作用问题。
对于一群数量为k的行人（如图2），每个行人的情况都将用简化的相互作用模型来描述。在只有一个行人的情况下,该模型能得到一个数量为n 1的方程组，相应的还能得到关于振动模式的n 个简化相互作用方程。同样的，当行人的数量为k时，就会得到一个n k的微分方程组。
考虑到由此产生的系统的本质，一种名为beta;-Newmark 的方法被提出了（其中参数beta;=1/4,gamma;=1/2），这种方法确保了该系统是一个无条件稳定的系统。
此外，集成步骤Delta;t根据关于基于模态分解技术的动力学模型的通常建议(Clough 和Penzien 1993;Dominguez 2001)，在以下值中取最小值：
Delta;t =min(,,,0.01)s啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊(17)
其中（单位Hz）是结构的最高振动频率（30Hz根据Dominguez (2001)），（单位m）是人行天桥的最小跨度。
行人行走所产生的垂直方向荷载
行人自重和行人行走时所产生的力会在行人与结构之间产生的垂直方向的力。根据不同的作者中的文章中可以得出(Butz等人. 2007; SETRA/AFGC 2006)，这个力可以由傅里叶级数分解得出，如下：
=P[1 ]啊啊啊啊啊啊啊(18)
其中P=m*g(单位N)是行人的平均重量（g是重力加速度）；是垂直力或垂直动态负荷系数的第i 谐波的傅里叶系数（VDLF）；（单位Hz）是行人的步频率；是行人荷载的第i 个谐波的相位移；是行人之间的相位移；是造成谐波的总数。
为了确定行人穿过人行桥的数量的分布，根据松本等人的结果（1978）得出了其分布是遵循泊松分布。进一步在Solferino桥上进行的实验(SETRA/AFGC 2006)和一些其他的研究表明想要锁定在垂直方向似乎是不可能的，因为行人在垂直方向的振动实在是太轻微了。因此,当一组数量为的行人通过一个人行天桥时，行人随机同步的值是。这种同步准则是采用人群和结构相互作用的模型得出的。它在这个模型中实现是通过相位移参数来实现的。对于一个给定的一代/群行人，随机同步行人的相位移的值是0。剩下的行人，其相位移是随机分布的，且服从[0,2pi;]的高斯分布。
VDLFs的值在表一中不同的作者在他们的文章中提供了不同的相位移，而且他们所给出的允许偏差范围也不同[表一中数据由Butz（2007）等人和SETRA/AFGC (2006)总结得出]。
行人模型的垂直模态参数
在Jones等人的研究中，在一个静态的单自由度系统中，描述受约束的行人在体育馆站这种结构上所产生的动态特性。
在图三和表二中，表明了一个使用模型的方案，他们模态参数的估计值和他们的变化范围都在其中显示出来了(Jones 等人. 2010)，其中是被约束的人的固有频率，是被约束的人的等效阻尼比，和是分别表示人在弹簧上和在弹簧下部分的质量百分比。两个受约束的行人的模型之间的最主要区别是行人的总质量的分布，只考虑一个弹簧上的组件是“模式一”，弹簧上和弹簧下都考虑的组件是“模式二”。
随后，以一个在真正的人行天桥上的实验结果作为基础，再结合相应的实验得出了行人和结构相互作用的模型的模态参数。
人群行为建模
在考虑到行人和行人在不同的相互作用力的影响下，行人走在人群中行为可以使用质点动力学的控制方程来模拟(Rapaport 2004)，这种方法已经被好几位作者成功的应用了（Helbing
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