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5.反应谱分析法
5.1 介绍
在第2章中，描述了不同类型的地震输入。其中，地震反应谱被认为是结构抗震分析中一个非常有用的输入，是可以直接应用于地震工程的抗震分析方法。首先，该方法提供了一种用于地震力的等效静力水平荷载分析的技术，其次，它可以清楚地了解不同的振型的贡献，结构的整体地震反应。再次，它提供了一个简化的方法去得到地震作用力中的地震作用设计值。最后，它在地震力对结构的可靠性和安全性的分析中也十分有用。
反应谱分析法不是一种精确的分析方法，其结果与第3章的时程分析结果不一致。然而，对于大多数情况下，其结果在结构设计应用中是足够精确的。除了这个缺点，还有其他方面的局限性，如：（1）其是严格适用于线性分析和（2）不能被应用于多点支持的情况下。然而，该方法已被广泛的使用与近似计算中。
在这一章中，反应谱分析法的发展过程中首先提出了单点激励,然后延伸到了多点激励的分析。在本章的最后，对于地震分析中所呈现的等效横向荷载，以及对于底部剪力系数方法的规定和对于反应谱法的分析比较。
5.2 等效侧力的概念和反应谱的分析方法
地震的等效侧力是在地震工程中使用的一个独特的概念。这个概念是有吸引力的,因为它将一个动态分析转化为部分动态和部分静态分析去寻找由于地震激发最大位移(或压力)诱导因素。对于结构的抗震设计，仅仅对于这些最大应力结果感兴趣而已，而不需要应力分析的时间过程。地震的等效侧力被定义为一组横向静态力量将产生相同的峰值反应的结构,在通过结构的动态分析(第三章)相同地震。这个等价仅限于单一结构的振动模式,也就是说,每个振型都存在一组侧向力。
等效的（静态的）横向地震力通过进行结构的振型分析得到的，然后用等效结构的（静态的）侧向力在每个振型下执行，以获得所需的反应。整个过程被称为反应谱分析法，分析步骤如下。
- 进行结构振型分析以获得振型形状，频率和方式参与的影响因素。
- 等效静载荷推导中，使用地震加速度反应谱得到每个振型得出的最大响应的相同响应。
- 与最大的振型相结合找到总结构的最大响应。
前两个步骤没有近似参与其中，只有第三个步骤涉及近似。因此，反应谱分析法被称为一个近似的分析方法。近似计算向反应引入了一些错误。误差的大小取决于问题的性质(结构的类型和地震激发)。然而,地震反应分析的结构结果表明,对于大多数实际问题,反应谱分析法所得结果可以相当程度的应用于结构设计中。
这个方法主要运用于单点激励地震。然而，通过某些额外的假设该方法可以延展到多点-多组地震作用中。此外，反应谱分析法推导于经典阻尼结构。因此，其适用于非经典阻尼结构体系不一定有效。然而，通过其他一些简化的假设，该方法已被用于非经典阻尼系统。
5.3 单点激励反应谱分析
5.3.1 发展
单点激励的单自由度体系的运动方程如下：
(5-1)
使用形式转换，公式5.1可以写成一个数字代表的一组单自由度系统的运动耦合方程：
(5-2)
其中：
是第i阶振型的形状，m是所考虑的振型数。
该系统中第i阶振型的响应由下式给出：
(5-3)
该系统中的弹性力在第i阶振型指定为:
(5-4)
无阻尼模式振型满足以下方程:
(5-5)
公式5-4可以写作：
(5-6)
第i阶振型产生的最大弹性力为：
(5-7)
现在，参照一个地震的反应频谱的发展规律可以被写为（第2章中给出）：
(5-8)
其中表示为对应于的阻尼和时间段的地面加速度中的位移反应频谱的坐标。
伪加速度谱写作,故方程5-7可以写作：
(5-9)
运用公式5-4，可以写作：
(5-10)
公式5-3与5-10都是基于地震反应谱分析法而形成的，它可以理解为以下几种方式：
假定在单点激励作用下的多自由度系统只在第i阶振型，也就是第i阶振型的贡献仅在其评估的反应上，那么该系统的最大位移可以通过考虑静态下的等效静态荷载分析得到。
根据公式5-9来看，显而易见的是，每阶振型都存在一个等效荷载矢量。此外，求取地震的伪加速度反应谱（简称为加速度反应谱）荷载矢量是必需的。因为这个原因，这种分析方法被称为反应谱分析法。同时，在每阶振型中都存在被定义的等效横向荷载，它也被成为振型反应谱分析法。通过公式5-9等到，可以看出和在加速度反应谱分析中是必需的。因此，模态分析必须要确定该结构的频率，振型以及参与的因素才能进行。随后，需要进行等效横向荷载下的静态分析，以得出每阶振型下的最大振幅。
结构的总响应来自于不同振型的响应的贡献，结构总响应是通过组合不同振型而得到的。这种组合是以一个近似的方式进行的，因为利用了等效的静态分析取代了实际中的动态分析过程。而分析中的被考虑的振型数目是基于第3章中讨论的总质量参与因素所决定的。
5.3.2振型组合规则
每个振型的最大反应通常是结合三种不同类型的振型组合规则所得到的，则：（1）ABSSUM，（2）SRSS，（3）CQC。
5.3.2.1 ABSSUM
ABSSUM表示结构响应的最大值的绝对值之和。因此，假设为我们所关注的变化量，则：
(5-11)
其中是第i阶振型的绝对值最大振幅。结合规则给出振型的计算振幅上限的原因有两个：（1）假定振型振幅峰值发生在同一时间；（2）其忽略振幅的代数计算符号。实际中的时程分析中表明，振幅峰值（考虑到正反两面的峰）是发生不同时间，不同振型中的。此外，总结构的振幅峰值发生在不同振型的时间是不相同的，如图5.1所示。同时，该组合方式所得到的峰值计算值是一个保守的估计值，因此，其在结构的地震设计中并不常用。
5.3.2.2 SRSS
在SRSS组合方式中，采用平方和开方的方法，体系的反应由下式给出：
(5-12)
振型峰值先平方，在相加，然后开方得到结构的总峰值反应。这种组合通常提供了一个较为准确的估计值，很好的分离出了结构的固有频率。当固有频率不容易分离出来时，其结构的总峰值反应的估计结果存在相当大的误差。方程5-12的基本含义是结构振型的峰值反应被认为是独立的随机变量。然而，振型峰值反应之间总是存在一定程度的相关性，当然这可能是非常小的，因此当结构的固有频率可以很好的分离出来时可以忽略不计。
5.3.2.3 CQC
CQC，完全二次组合规则，是SRSS规则的延伸，适用于更为广泛的各类结构。该规则主要应用于密频结构。其体系反应有下式给出：
(5-13)
在上述表达是中的第二项适用于。因此，第二项在相关系数的条件下包含了振型峰值反应之间的相关性影响。其中，显而易见的是，。假设符号相反，则为负。因此，CQC可能比SRSS提供的反应更少。在不同的文献中对于相关系数有着不同的解释。在这里，所给出的两个广泛使用的表达式，所有的振型的阻尼被认为是相同的（即，）。其第一个被Rosenblueth和Elordy[1]所提出，公式如下：
（5-14）
图5.1表示位移随时间变化情况：a）顶层位移；b）第一个广义位移；c）第二广义位移；
其中。第二个是由Der Kiureghian[2] 所提出，公式如下：
（5-15）
两个表达式的曲线在图5.2中显示。从图中可以看出两个表达式得出的结构基本一致，尤其在附近。此外，对于小阻尼（，的重要性随着的远离而减低。因此，对于容易分离固有频率的结构而言，在SRSS组合规则中可以忽略。
图5.2相关系数与振型频率比的变化关系；横坐标为对数
SRSS和CQC组合规则的振型峰值响应组合，以未来地震时一个平稳随机的过程为假设衍生而来。设计反应谱和功率密度函数（PSDF）表示地震地面运动的频率变化过程，这两者之间存在着一种相互关系。这种关系是一种平滑的曲线关系，研究中显示了许多地面运动的共有特征。如果地面运动被假定为一个平稳随机的过程，则每个振型在广义上也是一个随机的过程。因此，任意两个振型的广义坐标之间都存在着相互的联系（由交叉PSDF表示）。正因为如此，两个振型峰值反应之间存在相关性系数的假设是合理的。例如，由Der Kiureghian[2] 所提出的推导公式（公式5-15）就是基于以上概念。
(5-16a)
(5-16b)
在这里，
是位移反应谱，纵坐标为阻尼比和
为频率
为地震持续时间
是白噪声的反应，其取决于、和[4]
和是两个常数，一些合适的值，其可以取值分别为0.705和3，同时为PSDF中的地面加速度。
CQC和SRSS两种规则保证了宽频地震与持续时间比结构自身的时间周期大得多的振型峰值反应的准确估算。因为在随机振动的基本原理下推导组合规则，峰值反应可以更好的称之为平均峰值反应或预期峰值反应。
例 5.1
从平滑位移反应谱（公式5-16a）得到的PSDFs与埃尔森特罗地震的傅里叶谱之间的相互比较。
解决方案：图5.3显示了通过使用埃尔森特罗地震的傅里叶频谱中得到的平滑PSDF的位移反应谱以及通过方程5-16a得到的PSDFs（参见第4.5节）。从图中可以看出，两个PSDFs都相当准确。因此，方程5-16a可以与PSDFs一起用于反应谱的计算。
图5.3 由方程5-16a计算得到的PSDFs与埃尔森特罗地震的傅里叶频谱之间的比较：（a）平滑（b）不平滑
5.3.3 二维建筑框架、高耸结构中的应用
结构的自由度一般视为通过摇摆自由度和旋转自由度计算得到。地震的摇摆自由度由单一方向计算得到。则结构的反应谱的分析可以依照以下步骤进行。
- 判断结构的所有运动自由度。
- 列出与运动自由度相对应的结构刚度矩阵K。
- 应用荷载单元中必需的动态自由度（即摇摆自由度）生成与之相对应的弹性矩阵（F）。同时，根据所需的反应量（力矩，剪力等等）确定每个单元荷载的位置，并布置在形式的影响系数矩阵R中，其中m是所关注反应的数目，n是动态自由度的数量。
- 列出与动态自由度相对应的对角质量矩阵M并利用M和F解决其中的特征值问题。
- 在第i阶振型中，首先计算出（公式5-2），在得出（公式5-9）。在构筑框架是，可由下式简化得到：
(5-17)
其中，为第r层框架的自重，为第i阶振型第r层的形状系数。
- 计算得到，其中r为考虑振型的数量，R为上述所说的影响系数矩阵，为振型峰值反应向量的大小。
- 使用SRSS或CQC组合规则计算出振型峰值反应。
例5.2
对于图3.20所示框架结构（例3.12），找出结构平均峰值最大位移值，底部剪力，以及使用反应谱分析法分析第一层与第二层之间的层间位移与通过SRSS，CQC，ABSSUM和时程分析法所得到的结果在两种振型之间的相互比较，同时延展到所有振型。附录5.A中为埃尔森特罗地震的平滑地震反应谱数据。
解决方案：运用5.3.3节中所给出的步骤，计算得出横向荷载以及所关注的反应数量。该问题的频率和振型由以下计算得到：
反应谱分析法的结果如表5.1所示。从表中可以看出，ABSSUM计算得出的值比其他规则大得多。由SRSS和CQC计算得出的反应几乎相同；SRSS得出的数据要更高一些。由CQC得出的结果与时程分析法的结构更为接近。当振型可以很容易分离是，SRSS和CQC得出的结果相差无几。此外，还可以看出，更高的振型对于反应的影响与公式3.115中所给出的针对两个振型质量参与系数相比并不显著，其值接近于0.9。
5.3.4 三维高层建筑中的应用
对受单向地震作用的三维高层建筑，建筑物的主轴方向应与地面运动的方向对准，如图5.4（a和b）。
将地面运动分别施加在每个主轴方向进行计算，分析得出反应量的最不利组合。其采用以下步骤进行分析。
- 假设每层均为刚性楼板，并找到每层质量中心。
- 在每层的质量中心的自由度被认为是两个方向转动（在主轴方向）和一个绕中心轴的旋转。如果每层的质量中心不处于同一垂直轴上，连接第二条垂直直线作为质量中心。然后，将自由度定义在每层与之相交的点上。
- 同前面一样将单位荷载施加于与之对应的动态自由度的情况下，得出3D建筑的柔度矩阵。
- 重复执行前面4-7步骤。
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