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模拟随机过程的谱表示方法
Masanobu Shinozuka
George Deodatis
本论文的主题是运用谱表示方法对一个一维，单变量，平稳，高斯随机过程进行模拟。根据这个方法，随机过程的样本函数可以用具有高计算效率的一族cos函数公式进行生成。当cos函数族中数字N足够大时，这些样本函数高精度地反映了随机过程确定性的概率特征。当样本数量增加时，平均功率谱密度或自相关函数接近相关目标函数。此外，当平均值发生在cos函数族的基本周期内，生成的样本函数具有遍历性特征,即它的时间平均值和自相关函数等同于相关目标函数。模拟随机过程最重要的特性就是当N→infin;，它无限接近于高斯过程。该方法另一个亮点是可以用快速Fourier变换方法高效地估算出这族cos公式。本方法主要应用领域是对工程力学及结构工程领域中随机问题的Monte Carlo模拟。特别的，本方法已经被应用于包括对随机荷载、随机材料以及几何特性的模拟。
- 介绍
过去三十年左右，为了确保整体结构安全有相当高的可靠性，对于将随机过程理论应用于工程力学及结构工程这项研究已经有了相当大的进展。该理论最初应用于解决涉及随机荷载（随机振动理论）的问题以及这十年间对于随机材料和几何特性（对于系统随机性的多样化响应）的问题。随机振动理论中典型问题包括海浪引起的船只运动分析，飞机对于阵风与机动荷载的响应分析，海岸建筑对于海浪和风力的响应分析，由随机路面粗糙程度引起的车辆振动研究以及结构受地震运动或大气涌动的响应分析。由于系统随机性引起响应变化的演变包括用其材料特性（例如弹性系数），或几何特性（例如多维结构单元），或两者都有，来表现结构系统的响应分析。当振动技术成为解决系统随机问题使用频率最高的方法时，解决随机振动问题最广泛运用的方法是频域分析。
当多数研究者关注之前提到的两种解决方法（频谱分析和振动技术）时，本论文的第一作者已经发展和主张用Monte Carlo模拟技术解决随机振动和系统随机问题（例如Shinozuka 1972等）。Monte Carlo模拟法的主要优点在于对确定性解（解析解或数值解）已知的任何问题都可获得精确解。Monte Carlo模拟法唯一的缺点是它通常要花大量时间。然而作者相信，在未来十年，数字电脑的演变将在工程力学和结构工程领域强化Monte Carlo模拟技术的有用性。不管怎么说，Monte Carlo模拟法是解决涉及非线性，系统随机性，随机稳定性，参数激励等大量随机问题的唯一方法。
Monte Carlo模拟法最重要的部分是随机过程（领域或波）的样本函数的产生。生成的样本函数必须精确描述相应随机过程的随机特性，其可能是平稳的或非平稳的，均匀的或不均匀的，一维的或多维的，单变量或多变量的，高斯的或非高斯的。这种方法最适用于生成这种样本函数的是 “谱表示方法”。尽管该方法的概念之前就已存在（Rice 1954），Shinozuka（Shinozuka and Jan 1972，Shinozuka 1972）第一个将其应用于模拟包括多维，多变量和非平稳情况下的过程。Yang（1972，1973）发现快速Fourier变换可以用于显著改善算法的计算效率并提出一个模拟随机包络过程的公式。Shinozuka（1974）拓展了多维情况下快速Fourier变换的应用。最近，Deodatis和Shinozuka（1989）拓展了对模拟随机波的谱表示法，Yamazaki和Shinozuka（1988）提出一个对于模拟非高斯随机领域的迭代步骤，以及Yamazaki和Shinozuka（1900）介绍了统计性的预处理工作用于减少样本容量。最终，Shinozuka（1987）以及Shinozuka和Deodatis（1988b）发表了用谱表示方法进行模拟这一主题的两个综述论文。
本论文用谱表示方法对1D-1V平稳随机过程的模拟来阐述两个目标。第一是通过收集并编辑仅在几个不同论文中能找到的材料阐述该方法的一个详细观点。第二是提供过去论文中未明确提及的这个重要问题缜密的推导和阐述。这些问题包括模拟随机过程的趋近高斯性，一个可选Rice（1954）谱表示的非各态历经性，由于模拟随机过程的周期性阐述的混淆现象。
- 平稳随机过程的谱表示
令为1D-1V平稳随机过程，其均值为0，自相关函数和双边功率谱密度函数。下列公式成立：
（1）
（2）
（3）
（4）
其中最后两个等式构成著名的Wiener-Khintchine变换对。
接下来的定理是1D-1V，均值为0的平稳随机过程理论（例如Yaglom 1972，Cramer and Leadbetter 1967）的基础。
对于每个实值1D-1V平稳随机过程，其均值为0且有双边功率谱密度函数，两个相互正交且具有正交增量和的实际过程和可被分配如下：
过程和以及相关增量和在范围内且满足以下要求：
其中假设与一个可辨别的功率谱分布函数相关，其导数是功率谱密度函数：
功率谱分布函数在是有限的，其等同于：
在等式（9）到（12），和定义为：
且在等式（11）中不等式指频率间距和是不连贯的。
等式（5）现在重新写成以下形式：
其中
具有足够小且有限的，这样等式（17）可以被用作等式（5）。
如果和定义为：
且如果和是独立随机变量，其均值为0且有标准差，可以发现用和[等式（9）到（12）]所有要求都满足。然后，将等式（19）和（20）带入等式（17），得出下列表达式：
另一方面，如果和定义为（Shinozuka 1972）：
其中
且是均匀分布在独立随机相位角，很容易发现等式（9）到（12）同样满足。实际上，等式（9）可以被写成下列表达式：
其中是随机相位角的概率密度函数，表达式如下：
然后，等式（25）可以被写成：
并且用同样的方法可以发现。
等式（10）描述的要求可以表达为：
并且用同样的方法可以发现。
等式（11）描述的状态可以写成：
等式（29）中最后一个等号如果和是的独立随机相位角，等号成立。最终，等式（29）写成：
并且用同样的方法可以发现对于，。
最终，等式（12）描述的要求可以表达为：
当，由于和是独立随机相位角，等式（31）最后一项出现的期望值可以写作如下：
当，这一项可以写作：
结合等式（31）到（33），，下列结论是确定的：，当和同时成立。
所以，通过等式（22）和（23）给出的表达式，用和[等式（9）到（12）]所有要求都满足。然后，将等式（19）和（20）带入等式（17），得出下列表达式：
上述显示用等式（5）中的谱表示理论，等式（21）和（35）的表达式是恒定的。在4.1节将会发现当等式（35）被用作模拟目标，它产生遍历性的样本函数，当这个平均产生在cos函数族的基本时间段上，每个样本函数的时间平均的均值和自相关函数等同于目标值。另一方面，在4.3节将会发现等式（21）生成的样本函数不是各态历经的。这就是接下来将唯一使用等式（35）的原因。
等式（21）（和是正态分布）和（35）给出的表达式Rice（1954）曾在知名论文中提及。Rice在论文中提到，等式（21）的表达是Einstein和Hoph（1910）用作研究黑体辐射的。Schottky（1918）同样用它来表示散粒效应时刻，没有将和考虑为正态分布。
- 随机过程的模拟
3.1模拟公式
考察一个均值为0，自相关函数和双边功率谱密度函数的1D-1V平稳随机过程。下面将会对随机过程和其模拟过程进行区分。
从等式（35）无限级数表达来看，随机过程可以用以下级数当模拟为：
其中
且
在等式（39）中，表示频率上限，一旦超过该值，不论是数学还是物理原因，其功率谱密度函数都将变为0。本来就是一个固定值，因此当，，所以。下列准则通常用来估算值：
其中（例如）。
要注意如果考虑线性随机振动问题，那么
将作为准则，其中是问题中系统的频率响应函数。然后，该响应可以直接用作为等式（36）中的功率谱密度函数进行模拟。
等式（36）中是均匀分布在区间上的独立随机相位角。
在等式（40）的条件下，很容易发现等式（36）给出的模拟随机过程在时间上具有周期性：
等式（43）表明在指定的频率上限值以下，越小，或等价于越大，模拟随机过程的周期越长。
另一个非常重要的点是由于多变量中心极限定理，当模拟随机过程趋近于高斯性。3.3节将验证当随机过程的高斯性。3.4节将证明随机变量作为N的函数对高斯性的收敛速率，其中为具体时间点。
模拟随机过程的样本函数可由将随机相位角序列替换成各自的第i个来获得：
为了确保每个函数的时间平均和时间自相关函数等同于相关目标，且独立，等式（40）的条件是必要的（且如果必须遵守）（见4.1节）。
这里需要注意当通过等式（44）的模拟随机过程来生成样本函数，将在时域中进行分离的时间步长必须遵守以下条件：
为避免混淆抽样定理（例如Bracewell 1986），等式（45）中的条件是必要的。
另一个有趣的点是根据等式（44）生成的存在以下界限：
6.1节将证明对于功率谱密度函数的具体形式，即使对于相对小的N值，上述界限对于实际应用已经足够大了。显然对于任何形式的功率谱密度函数，这一界限都很容易计算得出。
现在将会发现模拟随机过程的所有期望以及所有自相关函数等同于目标值，且独立。
3.2全体自相关函数向目标自相关函数的收敛率
我们已经发现全体自相关函数等同于目标自相关函数。然而，从等式（52）到（54）很容易发现，该相等仅在成立。所以，为了检验等式（52）带有变量N的函数，其向的收敛率，必须估算下列差值：
其中
根据Conte和Boor（1980），这一差值等同于：
其中符号表示当且括号中的导数值。等式59要求在范围内，功率谱密度函数具有连续一阶导数。上述讨论显示全体自相关函数向目标自相关函数的收敛率与成比例。
在这一点上我们注意到如果定义为而不是等式（35）和等式（58）给出的定义，根据Conte和Boor（1980）等式（57）定义的差值将变为：
等式（60）要求功率谱密度函数在范围内具有连续的二阶导数。所以，如果在等式（36）显示的模拟公式用表达式而不用，向的收敛率将与成正比。应该注意到如果使用表达式，根据等式（36）模拟的随机过程具有周期的周期性，但是快速Fourier变换技术（见第5节）无法应用进等式（36）。所以，表达式仅在cos函数求和模拟的条件下才能使用。
3.3模拟随机过程的高斯性
根据Laning和Battin（1956），双变量中心极限定理规定如下：
为N维独立随机双变量向量，定义为：
的第一第二个元素为：
向量和定义为：
Z的第一第二个元素计算为：
双变量中心极限定理表明，在特定限制下，等式（66）到（68）显示的第一第二个元素在条件下，随机向量趋近一个双变量的高斯变量。
根据Laning和Battin（1956），双变量中心极限定理成立的充分条件为：
该理论拓展到一般化m维变量的情况立刻就能想到并且m维变量的中心极限定理可用类似方法证得。
前面的双变量中心极限定理现在用作根据等式（36）在条件下，模拟随机变量具有高斯性。具体来说，我们发现向量Z定义为：
在条件下趋近于正态分布，其中和是模拟随机变量[等式（36）]在两个不同时间点和上的值。
根据等式（61）的注释，和定义为：
且为
由于随机相位角是相互独立的，向量实际上也是相互独立的。的第一第二个元素很容易地计算出：
然后，向量Z定义为
且它的一第二个元素计算得
为了证明在条件下，等式（71）中向量Z趋近于正态分布，需要证明：
期望计算得：
在导出等式（83），用到了[等式（37）]是一个非负实数的事实。
结合等式（80
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