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基于正则化模型修正的桁架塔损伤识别
Benedikt Weber 和Patrick Paultre
摘要：本文提出了一种基于刚度的三维桁架塔在实验室测试中的损伤识别方法。通过从环境振动测量获得的模态参数修正有限元模型。本文重点介绍建模和模型修正的细节。为了获得真实的模型，必须考虑偏心连接，桁架构件的弯曲刚度和基础刚度。模型修正要组合用到许多数学技术，包括非线性修正问题的正则化及其线性化。正确地考虑所有这些细节，可以成功识别桁架中的受损。但是，如果忽略这些算法中的一些细节可能会导致错误的识别结果。本文研究还表明，静力凝聚法对于未受损模型的识别是有效的，但不能适用于所有模型受损的情况。
DOI：10.1061/(asce)st.1943-541x.0000105
CE数据库主题标题：受损;桁架;参数;振动;测量;敏感性分析;实验室测试。
关键词：模型修正;正则化;受损识别;基于敏感性;桁架。
1、介绍
本文描述了桁架塔中的损伤识别。桁架在损伤识别方面有着悠久的传统，有大量关于这一主题的文献。这里仅考虑包括实验数据的少数选定参考文献。20世纪90年代，美国国家航空航天局（NASA）八湾三维桁架进行了重大的实验。来自这些实验的数据被广泛用于验证一系列新的损伤检测算法，例如特征结构分配（Zimmerman和Kaouk 1992），最佳可实现的特征向量（Lim和Kashangaki 1994），以及最小等级修正（Zimmerman和Kaouk 1994、Doebling 1996）。经典的基于刚度的修正方法也被用于桁架。 Ricles和Kosmatka（1992）使用两阶段程序：他们首先通过残余力方法确定损伤的位置，然后在受损区域中执行基于刚度的参数修正。统计概念已考虑加权和正规化。Amin（2002）使用基于刚度的频率修正使用约束优化。NASA实验以及此处引用的其他实验使用每个节点在三个方向上测量的加速度。
最近损伤识别比较常用技术是IASC-ASCE结构健康监测工作组联合制定的基准问题。基准结构是一幢四层长方形钢结构建筑。通过在不同楼层移除结构内的支撑并松开梁上的螺栓来模拟受损。基准测试包括模拟数据的分析阶段（Johnson等人，2004年）和测量数据的实验阶段（Dyke等人，2003年）。与该基准相关的大多数出版物首先确定模态参数，然后构建或修正结构模型。这些出版物更多地关注系统识别而不是结构模型。大多数作者将损伤识别基于具有12个自由度（自由度）的三维剪切型建筑物。在这种情况下，刚度矩阵具有规则的结构并且可以相对容易地确定。其他方法基于矩阵（Bernal和Gunes 2004）或损伤指数（Barroso和Rodriguez 2004）。
在本文中，我们使用前面提出的基于刚度的算法（Weber 等2007,2009）介绍了三维桁架塔中的损伤识别。与上面引用的ASCE基准问题的论文相比，重点不在于系统识别，而在于结构模型的模型修正和参数估计。为了在实际应用中有用，该算法必须使用有限数量的传感器和一些仅输出系统识别的模式。修正算法还必须处理模态参数和有限元模型中不可避免的误差。由于问题通常是病态的，如果不采取特殊措施，结构模型和模态参数之间的不一致可能使结果完全无效。如Weber等人所述。（2007年、2009年），可以通过正规化来解决病态调节问题，正规化是数学文献中的标准工具。然而，当一致地应用时，正则化影响修正算法的所有部分，包括高斯 - 牛顿迭代以及线搜索并停止标准。通过数值模拟在以前的工作中发现的内容在本文中进行了实验分析验证：一致的算法可以产生出色的损伤识别结果，而一些更直观的版本会大大降低程序性能。除了算法方面，本文还证明了构建一个有意义的模型的重要性，该模型捕获了未受损和受损结构的基本行为。
2、理论背景
Weber等人提出了损伤识别模型修正的理论和数值方面。并在此总结，以方便读者阅读。
2.1模型修正
第一步是全局刚度矩阵的参数化
（1）
第一个矩阵为参考模型的刚度矩阵（未受损状态）和矩阵为刚度矩阵要修正的元素或元素组。部分刚度变化由修正参数表示，其在矢量中收集。通过最小化加权残差来执行模型修正：
（2）
该残差包含特征值残差和特征向量残差。加权矩阵 和允许将特征值和特征向量缩放到相似的量值。
对于每个修正模式，特征值残差具有分量
（3）
同样，对于每个模式，特征向量残差具有子向量
（4）
对于任何向量，分母不为零。此处使用波浪号表示仅考虑测量的自由度。以相同的方式缩放测量和数字模式形状可确保残差为零以进行精确匹配。最简单的程序是将特定自由度缩放为1。该条件将由向量 表示，其中一个在特定自由度处，而在其他地方为零。但是，我们更喜欢使用所有测量自由度的质量加权缩放并选择。
（5）
其中仅在测量的自由度处取得的质量矩阵。
残差非线性地取决于修正参数。通过Gauss-Newton方法求解非线性最小二乘问题，该方法迭代地求解线性化最小二乘问题。迭代的线性化由下式给出
（6） 其中和为 处的刚度矩阵。最小化线性化残差的范数导致以下高斯 - 牛顿迭代步骤：
（7）
2.2正则化方法
修正问题通常是不适定的，测量中的小错误可能导致中参数的不合理的大错误。为了避免这个问题，我们使用Tikhonov正则化（Hansen 1998; Vogel 2002）。将正则化应用于方程式（7）得到
（8）
此修正经常在文献中找到，但不一致。问题在于正则化的影响随着残差的减少而减小，并且在大量迭代之后基本上消失。通过在线性化之前应用正则化来发现一致的配方（ Vogel 1987）。这是通过最小化函数来实现的：
（9）
该函数由两部分组成：第一部分为残余函数，即最小化测量和计算量之间的差异;第二部分为惩罚函数即限制修正参数的大小。两者之间的权衡目标由正则化参数控制。对等式（6）线性化，得
（10）
最小化方程式（10）得
（11）
注意与方程式（8）相比的额外项。正则化解决方案在匹配测量方面不太准确，但它避免了由于噪音导致模型发生很大变化。最优权衡，即最优正则化参数，即可通过最小化广义交叉验证函数找到（O#39;Sullivan和Wahba 1985）
（12）
其中矩阵为
正则化残差随着正则化参数的减小而减小，但是等式（12）中的分母同时也减少了。当商取其最小值，表示最佳正则化参数。
在非线性场景中，修正过程以高值开始，并迭代地评估修正 。收敛后，计算广义交叉验证函数。然后，降低的值，并使用先前计算的结果作为起始值重复修正。这样，广义交叉验证计算整个正则化参数范围的函数，并确定最佳值。从大的正则化参数开始而不是小的正则化参数使得过程更稳定。
2.3特征值和特征向量的导数
为了计算刚度矩阵，我们需要关于修正参数的特征值和特征向量的偏导数。虽然，对于本文分析的轴对称桁架，理论上确实发生了重复的特征值，但我们可以通过使分析模型略微不对称来避免这个问题。因此，下面仅考虑简单的特征值。简单特征值和相关特征向量的导数的经典公式可以在文献中找到（Fox和Kapoor 1968; Nelson 1976）。在这里，我们使用Andrew等人的一个计算方法（1993）。由于我们只考虑结构的刚度变化，因此假定质量在以下推导中是恒定的。
经典公式的特征向量的导数基于特征向量保持质量归一化的约束
（14）
但是，对于方程式（4）中使用的缩放更为有效的是根据Andrew等人的研究，强制方程执行以下的归一化条件(正交约束的特征向量（1993）)：
（15）
其中常数非零向量。如果我们像等式（15）一样，把在测量自由度处为与相同，在其他地方为零可得
（16）
该归一化仅涉及测量自由度并且适合残差中使用的缩放。出现在刚度矩阵中的缩放特征向量的导数是
（17）
由于方程式（16）中的条件，左边的分母没有附加项。现在考虑特征值问题
（18）
其中K取决于方程式（1）中给出的j，M 为常数。考虑的情况下对等式（18）变形，可得
（19）
该等式可以使用有界矩阵与方程式（15）归一化条件组合
（20）
如Andrew等人所示（1993），得到的线性方程组是非奇异的，并给出了本征向量和特征值的所需导数。我们可以使用具有边界矩阵的解决方案，因为特征值和特征向量可以通过求解线性方程组简单地计算导数。
2.4线搜索和停止标准
在实施成功的修正算法时，还需要考虑其他一些重要细节。如果残差相对于修正参数的非线性非常强，则由高斯 - 牛顿迭代产生的修正步骤可能变得太大，使得关系式（9）迭代增加而不是减少。通过将步长减小到，可以避免这种情况。等式（9）修正步骤
（21）
这要求函数应用沃尔夫条件或Armijo条件（Nocedal和Wright 1999）
（22）
其中为正数，一般等于万分之一。如果不满足足够的减小条件，则减小步长。 确定值的简单方法是近似由0,0和1定义的抛物线的函数，并使抛物线最小化。 为了避免非常小的步骤，应用的附加条件。如果对于减小的步骤仍然不满足足够的减小条件，则需要进一步减少直到满足条件。Weber等人给出了更多细节。
实现模型修正第二个要素是停止标准。当等式（9）趋近于0时，修正已经收敛。然而，这个标准是不实际的，因为可能的最小值是未知的。在Dennis和Schnabel（1996）中给出了基于梯度的更合适的标准。应用此标准，线性化的功能方程（10）转化为
（23）
其中 （24）
标准则是满足，实例中，其中
（25）
3、铝桁架塔的应用
3.1模拟实验
所提出的方法已应用于所示的桁架塔在图1（a）中。它由L形铝构件和单个钢螺栓连接组成，总高度为2.8米。对于易于制造，单元直接用螺栓固定在一起而不使用角撑板[图1（b）]。虽然这种设计使得组装结构变得容易，但结果表明偏心连接使有限元模型复杂化。桁架是安装在坚固地板上的一英寸厚铝板上。虽然最初的目的是提供刚性边界条件，但基础结果具有很大的灵活性，必须包含在有限元模型中。
- (b) (c)
图1.铝桁架塔：（a）实验室模型;（b）偏心连接;（c）仅输出测试的传感器位置
仅进行输出振动测试以确定频率和模式形状。使用四个加速度计：在顶部放置两个固定加速度计以测量参考值，并且使用两个移动加速度计来测量每个第二级别的值，如图1（c）所示。由于实验室没有足够的环境输入，因此采敲击法用锤子敲击桁架。
2005年，ARTE-MIS使用频域分解算法确定实验频率和模式形状。未受损桁架的前三种模式如图2所示。数值如下表2所示。注意前两种模式的频率几乎相同。另请注意，这些模式沿x轴和y轴对角移动。为了模拟受损，移除了对角线构件[图1（c）]。相应的模式如图3所示。由于受损，前两种模式明显分开，第三种模式的频率显着下降。未受损和受损的桁架的模式形状在视觉上更难以比较。
图2.仅输出测试中未受损桁架的模式
图3.仅输出测试中受损桁架的模式
3.2有限元模型
第一个有限元模型由简单的桁架单元构成，忽略了连接的偏心。水平支撑元件在每个第二级由两个对角元素建模。这些元素对于保持桁架横截面的二次形状是必要的。固定边界条件用于将四条腿连接到地面。该模型显示频率远高于测量值，并且不被认为是现实的。仔细观察测量结果表明，基础比预期更灵活。因此，引入了刚性基板，其通过两个旋转弹簧连接到地面。这些弹簧允许将模型调整到前两个横向频率。在基座处引入的旋转柔性大致对应于表面下方的两个额外水平。扭转模式的频率不受基座旋转灵活性的影响，仍然太高（88.3 Hz而不是58.8 Hz）。
修改后的模型用垂直构件的梁单元和其他构件的桁架构件构建，如图4所示。在每个关节处引入三个节点以模拟偏心连接。垂直构件的角度部分的主轴相对于整体几何形状的坐标系弯曲45°，其中强轴穿过桁架的中心垂直轴。尽管这些节点之间的距离很小，但围绕垂直梁的弱主轴的弯曲引入了显着的附加灵活性。这种意想不到的行为主要在扭转模式下可见，如图4（b）所示。关于这个模型还有两个重要的要点：1、水平元素的质量需要计算为一致的质量，因为使用集总质量会产生扭转模态的错误惯性质量，并且2、关于垂直轴的旋转自由度仅与垂直梁元件的扭转相关，因为桁架元件不参与。最后一点导致垂直梁的局部扭转模式，这些模式不是物理存在的。通过固定相应的旋转自由度来抑制这些局部模式。和以前一样，基础柔韧性由通过旋转弹簧连接到地面的刚性基板建模。调节刚度使得前两个模式的频率与测量的频率匹配。这些弹簧保持不变，以便随后进行模型修正。为了降低计算成本，偏心连接的附加自由度已经通过静力凝聚凝聚出来。前垂直平面的参数化如图4所示。去除以模拟受损的对角线元素对应于的参数，参数化将在损伤识别部分中更详细地讨论。
-
(b)
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