- Dynamic response and effective static load distributions
5.1 Introduction
Due to the turbulent nature of the wind velocities in storms of all types, the wind loads acting on structures are also highly fluctuating. There is a potential to excite resonant dynamic response for structures, or parts of structures, with natural frequencies less than about 1 Hz. The resonant response of a structure introduces the complication of a time-history effect, in which the response at any time depends not just on the instantaneous wind gust velocities acting along the structure, but also on the previous time history of wind gusts.
This chapter will introduce the principles and analysis of dynamic response to wind. Some discussion of aeroelastic and fatigue effects is included. Also in this chapter, the method of equivalent or effective static wind loading distributions is introduced.
Treatment of dynamic response is continued in Chapters 9 to 12 on tall buildings, large roofs and sports stadiums, slender towers and masts, and bridges, with emphasis on the particular characteristics of these structures. In Chapter 15 code approaches to dynamic response are considered.
5.2 Principles of dynamic response
The fluctuating nature of wind velocities, pressures and forces, as discussed in Chapters 3 and 4, may cause the excitation of significant resonant vibratory response in structures or parts of structures, provided their natural frequencies and damping are low enough. This resonant dynamic response should be distinguished from the background fluctuating response to which all structures are subjected. Figure 5.1 shows the response spectral
Figure 5.1 Response spectral density for a structure with significant resonant contributions.
Dynamic response 97
density of a dynamic structure under wind loading; the area under the entire curve rep-resents the total mean-square fluctuating response (note that the mean response is not included in this plot). The resonant responses in the first two modes of vibration are shown hatched in this diagram. The background response, made up largely of low-frequency contributions below the lowest natural frequency of vibration, is the largest contributor in Figure 5.1, and, in fact, is usually the dominant contribution in the case of along-wind loading. Resonant contributions become more and more significant, and will eventually dominate, as structures become taller or longer in relation to their width, and their natural frequencies become lower and lower.
Figure 5.2(a) shows the characteristics of the time histories of an along-wind (drag) force; the structural response for a structure with a high fundamental natural frequency is shown in Figure 5.2(b), and the response with a low natural frequency in Figure 5.2(c). In the former case, the resonant, or vibratory component, clearly plays a minor role in the response, which generally follows closely the time variation of the exciting forces. How-ever, in the latter case, the resonant response, in the fundamental mode of vibration, is important, although response in higher modes than the first can usually be neglected.
In fact, the majority of structures fall into the category of Figure 5.2(b), and will not experience significant resonant dynamic response. A well known rule of thumb is that the lowest natural frequency should be below 1 Hz for the resonant response to be significant. However the amount of resonant response also depends on the damping, aerodynamic or structural, present. For example, high voltage transmission lines usually have fundamental sway frequencies which are well below 1 Hz; however, the aerodynamic damping is very high minus; typically around 25% of critical minus; so that the resonant response is largely damped out. Lattice towers, because of their low mass, also have high aerodynamic damping ratios. Slip jointed steel lighting poles have high structural damping due to friction at the joints
minus; this energy absorbing mechanism will limit the resonant response to wind.
Resonant response, when it does occur, may occasionally produce complex interactions,
in which the movement of the structure itself results in additional aeroelastic forces being produced (Section 5.5). In some extreme cases, for example the Tacoma Narrows Bridge failure of 1940 (see Chapter 1), catastrophic failure has resulted. These are exceptional cases, which of course must be avoided, but in the majority of structures with significant resonant dynamic response, the dynamic component is superimposed on a significant or dominant mean and background fluctuating response.
The two major sources of fluctuating wind loads are discussed in Section 4.6. The first and obvious source, exciting resonant dynamic response, is the natural unsteady or turbu-lent flow in the wind, produced by shearing actions as the air flows over the rough surface of the earth, as discussed in Chapter 3. The other main source of fluctuating loads is the alternate vortex shedding which occurs behind bluff cross-sectional shapes, such as circular cylinders or square cross-sections. A further source are buffeting forces from the wakes of other structures upwind of the structure of interest.
When a structure experiences resonant dynamic response, counteracting structural forces come into play to balance the wind forces:
inertial forces proportional to the mass of the structure
damping or energy-absorbing forces minus; in their simplest form, these are proportional to the velocity, but this is not always the case
elastic or stiffness forces proportional to the deflections or displacements.
When a structure does respond dynamically, i.e. the resonant response is significant, an
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5.1介绍
由于风在各种类型风暴中的湍流性质，风荷载作用于结构上时也有相应的脉动性。低于1Hz结构自身频率也可能产生共振动力响应。结构的共振响应引入了时间效应的复杂性，在这种情况下，临场的情况的不能直接确定沿着结构的瞬时阵风速度，而且还参考于之前的阵风历史。
本章将介绍动态响应的原理和分析。讨论了气动弹性现象和疲劳效应。本章还介绍了等效或有效静风载荷分布的方法。
在高层建筑、大型屋顶和体育场馆、细长的塔、桅杆和桥梁上，对动力反应的处理仍在第9至12章中进行，重点是这些结构的特殊特征。第15章讨论了动态响应的代码方法。
5.2动态响应原则。
正如第3和4章所讨论的，风的速度、压力和力的波动特性，可能会引起结构或结构部分的重要共振振动响应，只要它们的固有频率和阻尼足够低。这种共振的动态响应应该与所有结构所受到的背景波动响应区分开来。图5.1显示了响应谱。
图5.1具有显著共振贡献的结构的响应谱密度。
风荷载作用下动态结构的密度;整个曲线下的面积是指总均方根波动的响应(注意，这个图中不包含平均响应)。在这张图中显示了在前两种振动模式下的共振响应。背景响应是图5.1中最大的贡献者，而实际上，通常是在顺风荷载作用下的主要贡献。共振的贡献变得越来越重要，并且最终将会占据主导地位，因为结构会随着它们的宽度变得更高或更长，它们的固有频率也会越来越低。
图5.2(a)显示了顺风(阻力)力的时间历史特征;图5.2(b)所示为具有高基本自然频率的结构的结构响应，图5.2(c)中自然频率较低的响应。在前一种情况下，共振或振动分量，在反应中显然扮演了一个次要的角色，这通常会密切关注令人兴奋的力量的时间变化。然而，在后一种情况下，共振反应，在振动的基本模式中，是很重要的，尽管在高模式下的响应通常被忽略。
事实上，大多数结构都属于图5.2(b)的范畴，不会有显著的共振动态响应。众所周知的经验法则是，最低的固有频率应该低于1hz，因为共振响应是重要的。然而，共振响应的量也取决于阻尼、空气动力或结构，目前。例如，高压输电线路通常有基本的摇摆频率，远低于1hz;然而，空气动力阻尼非常高，通常在关键的25%左右，所以共振反应很大程度上被减弱了。晶格塔由于其质量较低，也具有较高的气动阻尼比。滑动连接的钢灯杆由于在关节处摩擦而具有很高的结构阻尼。这种能量吸收机制将限制风力的共振响应。当它发生时，可能偶尔产生复杂的相互作用，
结构本身的运动导致产生额外的气动弹性力(第5.5节)。在一些极端的例子中，例如1940年塔科马海峡大桥的失败(见第1章)，灾难性的失败已经产生。这些是例外情况，当然必须避免，但在大多数具有重要共振动态响应的结构中，动态组件被叠加在一个显著或主要的平均值和背景波动响应上。
第4.6节讨论了脉动风荷载的两个主要来源。第一个也是很明显的来源，令人兴奋的共振动力响应，是自然的不稳定或湍流，由剪切作用产生，当空气流过地表的粗糙表面时，如第3章所述。波动载荷的另一个主要来源是在横截面形状后发生的交替涡脱落，如圆形气缸或方形截面。另一个来源是来自于其他结构的尾迹的抖振力。
当一个结构经历了共振的动力响应时，反作用力的结构力量就会起作用来平衡风力:惯性力与结构的质量成正比。阻尼或能量吸收力量minus;在他们最简单的形式,这些都是与速度成正比,但这并非总是如此弹性或刚度与挠度或位移成正比。当一个结构的响应是动态的，即共振响应是显著的。
图5.2:(a)风力，(b)结构响应的高自然频率和(c)结构响应低固有频率。
要记住的一个重要原则是，在任何给定的时间内，结构的条件，即应力、挠度，不仅取决于当时的风力作用，还取决于风力的过去历史。在准静态加载的情况下，该结构直接响应任何给定时间瞬时作用的力。
由于载荷的共振部分(5.4.4节)的有效载荷分布得到了沿结构的惯性力分布的良好近似。这是基于在共振频率上的脉动风力近似平衡阻尼力的假设，即稳定振幅的振动是建立的在这一点上，值得注意的是结构对风和地震的动态响应之间的本质区别。由于这两种自然现象，激发力的主要区别是:
地震的持续时间比风暴要短得多(可能是龙卷风过境的例外)，因此被视为暂时的负荷。
地震地面运动的主要频率通常是在完全发展的风暴中频率的10-50倍。这意味着结构将会以不同的方式受到影响，例如，某一高度范围内的建筑物可能不会对风荷载产生显著的动力响应，但可能会发生。
地震激发。
地震地面运动表现为完全相关的等效力作用于一个高结构的高度。然而，风暴的涡旋结构导致部分相关的风力作用于结构的高度。在细长结构上的涡脱落力也不完全与高度相关。
图5.3显示了风和地震作用对结构的激发的各种频率范围。
5.3随机振动或光谱方法。
在20世纪60年代的一些重要论文中，A. G. Davenport提出了一种基于随机振动理论的结构风振结构的方法(Davenport, 1961, 1963, 1964)。R. I. Harris(1963)和B. J. Vickery(1965, 1966)对这一方法的发展作出了其他重要的早期贡献。
该方法利用平稳随机过程的概念来描述风力、城市、压力和力。这就假定了自然界的复杂性，我们永远无法完美地(或“决定性地”)预测风暴产生的力量。但是，我们可以用平均量，比如标准差，
图5.3风或地震对结构造成的脉动反应频率。
相关性和光谱密度(或“光谱”)描述了令人兴奋的力量和结构反应的主要特征。在3.3.4和图5.1中已经引入的谱密度是该方法中考虑的最重要的量，它主要使用频率域进行计算，也称为光谱方法。
风速、压力和结构反应通常被视为平稳随机过程，在此过程中，时间平均或平均分量与波动分量分离。因此:
X(t)=X x(t) (5.1)
当X(t)表示风速分量时，压力(用尊重测量)对于定义的参考静压)，或结构响应，如弯矩，
应力结果、挠度等;X是均值或时间平均分量;并且x(t)是一个脉动分量例如x，(t)=0。如果x是一个响应变量，x，(t)应该包含任何由结构振动固有振动模式引起的共振动力响应。
图5.4(1963年达文波特之后)图解了光谱方法的元素。主要计算是在底部行，在其中，总平均平方波动响应是由响应的谱密度或“谱”计算的。后者是根据空气动力的光谱来计算的，也就是由风湍流或阵风谱计算出来的。频率相关的气动和机械导纳函数在这些光谱之间形成了联系。共振频率的放大，对于基本频率较低的结构，将导致更高的均方波动和峰值响应，而不是具有较高固有频率的结构，如图5.2所示。
平稳随机过程和方程(5.1)适用于温带和热带气旋等大型风暴。它可能不在短时间内，如暴雨或与雷暴有关的龙卷风时，要适当。这些类型的风暴仍在开发中。
5.3.1单自由度结构的顺风响应。
我们将首先考虑一个小体的顺风动力响应，它的动态特性由一个简单的质量弹簧阻尼器(图5.5)来表示，而这并不会影响到接近的湍流。这是一种单自由度的系统，它合理地代表了一种结构，它由一个由低质量的柱支撑的大质量体组成，例如在顶部有一大堆灯的照明塔或桅杆。
由式(5.2)给出了该系统在空气动力阻力下的运动方程，D(t)，由（5.2）给出
对于小结构的准稳态假设(第4.6.2节)允许在均方波动阻力和波动的纵向风速度之间建立以下关系。
式(5.3)与方程(4.15)的压力类似。
在谱密度上写式(5.3)，
因此,
图5.5结构简化的动力学模型
动态响应
为了推导出波动力与结构的响应之间的关系，由图5.5的简单动力系统表示，挠度首先分离为均值和波动分量，如式(5.1):
平均阻力、D和平均挠度之间的关系为:
D=kX （5.5）
其中k是图5.5中的弹簧刚度。
挠度的谱密度与应用力的谱密度如下所示:
其中|H(n)|2被称为单自由度动态系统的力学导纳，由式(5.7)给出。
即机械导纳的平方根，可以被认为是动态放大系数，或动态放大系数，当单自由度系统对谐波或正弦激励时产生的响应是一致的。n1是无阻尼固有频率,eta;是阻尼系数的比值,c,临界阻尼,如图5.5所示。
通过结合方程(5.4)和(5.6)，挠度响应的谱密度可以与风速波动的谱密度有关。
(5.8)适用于与大气湍流长度尺度相关的小额叶区域的结构。
对于较大的结构，风速波动不会同时发生在迎风面上，因此必须考虑它们在整个区域的相关性。为了达到这个效果，引入了一个气动导纳x2(n)。
由式(5.5)代入D，
对于开放结构，如不扰动流的格架塔，x2(n)可由上升风速波动的相关特性决定(见3.3.6节)。这一假设也适用于固体结构，但x2(n)也已通过实验得到。
图5.6显示了一些具有经验功能的实验数据。注意，x(n)趋向于在低频率和小的物体上趋向于1.0。低频率的阵风几乎是完全相关的，并且完全包络了结构的表面。对于高频率，或非常大的物体，由于缺乏相关性，阵风在产生结构上的总力时是无效的，而气动导纳趋向于零。
为了得到均方波动挠度，由方程(5.8)给出的挠度谱密度，在所有频率上进行积分。
在方程(5.10)下的面积可以由两个组成部分B和R近似，分别代表“背景”和共振部分(图5.7)。
因此,
图5.6气动导纳-实验数据和拟合函数(Vickery，1965)
第5.3.1节所述简单系统的预期最大响应可以写成:
circ;=macr;sigma;X X g
其中g是一个峰值因子，这取决于计算最大值的时间间隔，以及响应的频率范围。
从方程(5.11),
公式(5.14)，其变化用于许多规范和标准的风荷载，对于简单的估计的顺风荷载的结构。通常的方法是计算G在第一振动模式下的模态坐标，然后将其应用于结构上的平均载荷分布，计算出所有的响应，例如弯矩。这是一种近似的方法，对于某些结构和荷载效应，例如高层建筑的基底弯矩，效果相当不错。然而，在其他情况下，它会出现重大错误，应当谨慎使用(例如，霍姆斯，1994;Vickery, 1995年-参见第11章)。
5.3.3峰值因素
结构对风的顺风响应具有近似高斯分布的概率分布。对于这种情况，Davenport(1964)导出了峰值因子g的下面表达式。
5.3.4动态响应的因素
例如，在短暂的或非平稳的风，例如雷暴的下暴，使用阵风因子，或阵风反应因子，是没有意义的。当平均响应很小或为零(如交叉风响应)时，阵风响应系数也没有意义。在这些情况下，使用“动态响应因子”更合适。这一方法最近被采用了一些规范和标准的风荷载。动态响应因子可通过以下方式定义:分母实际上是在代码和标准中使用“静态”方法计算的响应。上面定义的动态响应因子通常值接近1。一个大于1的值只能由一个重要的共振响应引起。
在第15章将进一步讨论阵风响应因子和动态响应因子在风荷载规范和标准中的应用。
5.3.5影响系数
当考虑时间依赖和空间变化荷载的作用时，例如风荷载对连续结构的影响，影响系数或影响线是一个重要参数。为了理解这种需求，我们必须理解结构设计人员所熟悉的“负载效应”的概念。负载效应不是加载本身，而是与设计标准进行比较所需的加载所产生的参数。例子是内力或力矩，例如弯矩或剪切力，应力或变形。影响线表示单个负载效应的值，作为一个单元(静态)负载在结构周围移动。
图5.8给出了两个影响线的例子。如图5.8(a)所示
图5.8拱顶和塔的影响线实例。在一个水平上的弯矩和剪切力的线，s，在一个格子塔的中间。这些是相对简单的函数;在剪切力荷载(或风压力)的情况下，水平s对剪切力的影响是均匀的。对弯矩的影响线从上至下的统一在水平s上呈线性变化;因此，在结构顶部的风压比在弯矩下的压力要大得多，在弯矩的作用下，它与塔的腿部的轴向力密切相关。应该注意的是，在水平以下的载荷或风压没有影响到该水平的剪切力或弯矩。
图5.8(b)为拱屋顶某点弯矩的影响线。在这种情况下，影响线的符号沿拱门变化。因此，在同一方向上施加的风压力可能对C、Mc的弯矩产生相反的影响。
考虑到风荷载的结构效应时，考虑到这些非均匀的影响是很重要的，即使是对于明显简单的结构，特别是在荷载的波动部分。
5.3.6采用分布式质量模态分析的结构的顺风响应。
通常的方法是将多自由度结构的动态响应计算为动态力，包括共振效应，是将完全的摆位响应扩展为与每一种固有振动模式相关联的组件的总和:
其中j表示自然模式;z是结构上的空间坐标;aj
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