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应用物理学报
多相微孔介质有效介电常数的数值分析
王莫兰和宁潘
加州大学戴维斯分校生物与农业工程学系，（于2007年1月25日收到;2007年4月15日接受;2007年6月7日出版。）
这篇论文提供了一个完整的建模和预测一个有效的表面多相微孔介质的介电常数数值工具集，包括多参数随机生成多相多孔介质微结构的生成-生长算法和通过多孔结构对电势输运方程的格玻尔兹曼求解。通过对简单几何图形的理论解的验证，提出了用于研究多相微孔介质高效介电常数的相位分布效应的现有的方法，包括粒径、结构各向异性和在多相情况下，由不同阶段之间的润湿特性引起的聚合相的影响。最终的结果预测与现有的两相和三相的情况实验数据吻合得很好。2007年美国物理研究所。[DOI:10.1063/1.2743738]
1，简介
预测不同介质材料的混合物介质的电性质是一个理论和实践上都有挑战性的问题。（参考文献1-5）这些异构系统由两个或多个相显示不同的导电和电介质属性，这些不仅取决于电力属性，还取决于每个阶段的体积分数，也包括几何形状和内含物的排列。（参考文献6、7）最受欢迎多孔介质介电常数的理论模型是基于并行网络和系列模式。（参考文献8-11）或者通过一些经验参数介绍了多孔结构的形貌效应。（参考文献12-21）到目前为止没有找到成功地处理了具有随机相位分布和交互的天然多孔介质的介电常数的分析模型。
由于计算机和计算机技术的迅速发展，数值建模方法已经越来越多地用于预测多孔介质的有效介电常数。一个完整的多孔材料的介电性能的数值测定应该包括两个方面:准确的获取和复制基于计算机数据的随机多相结构并且有效的求解相关的局部电势传输方程。
在过去的十年中,提出了几种产生多相材料的微结构的方法,当微观结构的细节可以忽略不计时，障碍物的随机位置是最简单的一种构造一种人工多孔介质的方法。(7、23、24) Tacher et al. (25)提出了一个离散的缩短距离的方法产生球形/椭圆形的两相颗粒多孔介质，基于Tacher等人的工作 Pilotti开发了一种颗粒沉降算法.Tacher et al.和Pilotti的两种方法都能产生随机大小和位置的多孔媒体但两者都不能处理好颗粒之间的相互作用。因此，没有一个适用对于联系极其敏感的电力传输问题。最近,重建过程在随机生成两相(27,28)和基于数字微层析信息和数据相关功能的多组分(29,30)多孔材料中得到了广泛的应用。(31)这样的重建方法更适用于非流体或单流体系统而不是多个流体系统. Mohanty利用Monte Carlo的采用了最低的界面的能量的退火方法生成不饱和多孔介质。Wang等33,34提出了一个多参数随机生成生长方法，称为四重奏，用来随机地复制基于聚类生长理论的多相多孔介质并且然后研究多孔介质热性能。
传统的偏微分方程解法如有限差分法，(36–39）有限元法和(40–43) 边界元法已经被应用于处理多孔介质或二元混合物中的电势传输的情况的控制方程。然而，当控制方程用传统的PDE求解器求解时，结构的复杂性带来了两个挑战。首先是要求对复杂结构的网格细化，传统数值方法的准确性很大程度上取决于网格大小，所以无论什么时候物理和/或在几何上的运输过程是复杂的就需要额外的网格.在处理具有复杂的几何结构多孔介质中的端口问题多相共轭反式问题时，需求将把计算域实际上限制在非常有限范围内。第二个是在不同阶段之间的接口共轭限制，对于一个通过多相结构的稳定电场传输，必须保证在求解控制方程时的界面电势和通量的连续性，因此对一个在结构中有无数接口的多孔介质要求具有极高的计算资源。为了克服了这些困难 一些基于随机统计理论的方法引起了人们的广泛关注，例如Yue et al. (48,49)开发了格子气体自动机法来预测二维多相多孔介质的电力传输特性。
图1所示。一种具有多相多孔结构的平行板电容器。
目前工作的目标是提供充分的用于建模和预测独立频率的多相孔隙介质的独立有效介电常数数值工具集，包括多参数随机生成-增长算法，称为QSGS为了生成多相多孔介质的微观结构并进行分析，随着本研究的进一步完善对宏观参数对微结构的影响的重视和提出了一种用于求解通过多孔结构电子的网格电势传输方程的波耳兹曼算法，这种算法比其他广泛使用的用于解决复杂结构的PDE解决方案更有效，特别是对多相位共轭运输情况的影响。这篇文章被组织成如下在第二节中，我们提出了有相应的边界条件控制方程，并且在第三节中我们介绍了使用的数值方法，包括用于产生多阶段多微孔孔隙介质的微结构和高效晶格玻尔兹曼算法。数值结果集中在第4节，在数值方法是通过现有理论对于简单情况的解决方案进行验证的之后，使用新的工具进行分析相位分布对有效介电多相微孔介质常数的影响，包括晶粒尺寸、系统各向异性和多相交互。最后对预测和已发表的实验数据进行了比较。
- 控制方程
一旦有效的媒体理论适用，在域内没有当前源时，电势输送在多相多孔介质可以由拉普拉斯方程来控制当。让我们考虑一个具有恒定电位差的平行板电容器如图1所示。无电荷的多孔介质充满电容器，空间L长，H高。电势运输控制方程如下：
R指的是位置，r表示局部相对电介质介质常数，是局部的电势并结合下列边界条件
边缘效应可以通过周期在下列情况下延长来消除：
其中n表示的单位向量为曲面上的常数，如上所述，有许多阶段交界在这样的多孔介质中，在每个阶段m和阶段n之间的接口势能和通量应该是是连续的，例如：
其中D是电流量
是真空的介电常数.在电势场得到解决后,总体有效介电常数由电通量lt;Dgt;和平均电位梯度决定.
第三节，数值方法
A，多相多孔结构的四重奏的结构产生了，
这里我们使用QSGS方法33来生成多相微孔介质的微结构，其流程图为如图2所示，算法描述如下。必须先在不同的部分中确定一个非增长阶段，其余的将是增长阶段。对于一般的来说，我们把每个生长阶段称为nth阶段，其中n = 2，N是系统的总相数。通常不失去一般性，离散阶段被视为生长阶段。例如,岩石水分是不饱和砂土的生长阶段，而在聚氨酯泡沫中，气体是生长阶段。然后，结构的成长过程遵循以下步骤:
- 在网格系统中基于核心分布的机率Cd随机定第一个生长阶段的核心，它的值不大于它的体积分数P2.网格中的每个单元格将被分配一个由一个在0.1间均匀分布函数的随机数，每个单元的随机数不大于c d将被选为核心。
图2所示。QSGS过程流程图
(ii) 将生长阶段的核心扩展到它附近的所有都基于它的有向生长机率Di上的无孔细胞，其中i在这里表示方向。新的随机数将会与相邻的细胞结合，在方向i上的邻近的细胞将成为成长阶段的一部分如果随机数不大于D i。特别是对于一个二维情况下，每个正方形单元格对它的周围来说都有8个成长的方向。i= 1,2,...8,如图3显示。主要有4种定向生长概率为1-4和4个斜向方向生长概率为5-8。在这类系统中获得一个各向同性结构，我们必须设置定向生长概率比D 1-4:D 5-8 =4，与平衡密度分布函数统一的媒介(33)。
(iii) 重复这个不断增长的过程直到体积结构第一个生长阶段的分数达到给定值P 2。
图3所示。二维二维系统中每个单元的8个生长方向。
(iv) 对于下一个增长阶段，有两种情况需要考虑它与现有阶段的相互作用,如果这一阶段是一个相当的离散相，作为现有的生长阶段，例如多组分混合物，它会从分离的种子中生长出来，这与第一个生长阶段非常相似。否则，我们必须考虑与现有阶段的约束和相互作用,对于这种情况，第n个阶段(ngt;2)将会基于I I I n,m的相位相互作用增长，这表示第n个阶段的第n阶段沿第I个方向的生长概率.
(v)一旦体积分数到达体积分数P n，停止第n阶段的增长
(vi)重复下一阶段的增长，如(iv)和(v)直到n = n
(vii)在末端没有占据的空间代表非增长阶段
那么，这四个参数c d d i P n控制基于此生成过程的多孔介质的微观结构，其值可以通过测量数据的统计分析。(i)与前一代的方法相比，QSGS有如下的优点，生成增长的过程类似于一些从核心向外生长的真正颗粒多孔介质的自然形成过程。(ii)每一个算法中的参数具有明显的物理意义而不是实证的决定。(iii)它也处理多组分连接问题。(iv)并将随机统计数值平滑地引入到系统中。这种方法是有效的，而不需要求助于任何优化的循环过程。最后，该算法是直接的三维和/或多相案例，并适合并行计算。
B,点阵玻尔兹曼电势运输方程算法
格波兹曼方法(LBM)本质上是一种基于晶格统计分布演化的介观方法，在模拟流体流动和相关的运输现象方面取得了相当大的成功。(52-55) LBM最重要的优点是容易实现多个粒子间的相互作用和复杂的几何边界条件，(56)和一般来说，守恒定律可以在不需要额外计算的情况下自动保持。(52,53),LBM已经成功地模拟了流体力学，(57,58)热力学，(33,34,59)和电动力学(60)在多孔介质。近年来，多相位共轭边界条件得到了发展，发现LBM比FDM的效率要高得多，即使是非常简单的几何问题。对于电势传输控制方程。[Eq.1] 在每个阶段，我们采用了离散格的演化方程。
这实际上是泊松方程的简化形式，通过消去源项。62 进化变量ga的平衡分布?对于二维的九速(D2Q9)模型是：
{
显微镜下的速度为：
无量纲松弛时间
下标n仍然代表第n阶段?t是时间步，?r是相对介电常数，c是一个伪声速，其值理论上可以取任何正值来保证?值在? 0.5,2 ?之间。然后计算每个格子上的电势和通量
对于等势边界处理，我们遵循了由Zou和He提出的非平衡分布的反弹规律，在绝热边界条件下，采用镜面反射处理，避免了表面的能量泄漏。势场求解后，有效介电常数?然后可以根据Eq. . 8来确定eff。作为
D是在电位差之间通过截面面积dL的稳定电通量距离H
图4所示。验证的两个基本结构:并行模式和b系列模式。
第四节，结果和讨论
我们用QSGS来计算多相微孔介质的有效介电常数，利用其宏观地质信息再现微观结构，然后通过LBM的结构求解电势传输控制方程。有效的介电性质是基于方程, Eq13 - Eq15 最近，Wang等人发现，基于热探针或热线的测量技术实际上是二维技术，尽管多孔介质具有三维结构。由于热探头和热丝在介电常数的测量中仍然是最受欢迎的技术，我们在此贡献中给出了二维模拟。在这一节中，本文用简单结构的理论解验证了现有的数值方法，研究了相分布和相互作用对多相微孔介质有效介电常数的影响。这些预测将与现有的实验数据进行比较。
A,最初的验证
首先，我们计算了双组分材料的两种基本结构的有效介电常数:并行模式和串联模式?参见图4吗?。假设每个分量的介电常数是?r1和?r 2，简单的理论解提供了有效介电常数??r1 ?r2吗?/2平行模式和1/?1/2?r1 1/2吗?r2吗?系列的模式。我列出了我们计算的有效介电常数与以上理论解的不同值?r1:?r2。我们继续在?r1在变化时是1.0?r2从2.0到10000，使用的网格是200?200。这么大的对比?r1和?r2导致了一个很长的计算时间收敛到一个稳定的结果，并且在我们的模型上提供了一个很好的测试。即使在如此大的介电常数对比中，对平行模式和0.765%的预测之间的偏差也不大于0.006%，这表明我们的方法是很准确的。
B,颗粒尺寸效应
一些研究人员已经报道，尽管介质的成分和孔隙率相同，但在不同的平均孔隙/颗粒大小上，多孔介质的有效介电常数可能存在差异，但迄今为止，还没有发现能够很好地预测这些现象的分析。在这里，我们通过改变粒子核心分布概率c d的值来控制平均孔径/粒径，从而使c d的更大的值指向a。 体积分数较小的粒子的平均大小。图5展示了在给定固体颗粒体积分数P s =0.5的情况下产生的两种结构，图5中的c d ?是图5中的10倍吗?更高的c d的结构看起来更均匀，并且有更高的地对空比。
在不同的c值下生成多孔结构后，对多孔介质的有效介电常数的粒子尺寸效应进行了研究，并在网格上进行了200 - 200的研究。图6显示了预测的有效介电常数与固体体积分数P的两种不同的c d值。元件的相对介电常数是多少?rs = 5.0 ?rg =1.0，上标s表示固相，g为气相。理论解决方案对并行模式和串联模式也进行了比较。结果表明，随机多孔介质的有效介电常数介于并行模式和串联模式之间。上界和下界?平均粒径越大，孔隙介质的有效介电常数就越低，除了0和1。在不同的c d值中，有效介电常数的最大差异发生在固体分数在0.5-0.8之间。因此，我们持有固体体积分数P s =0.5，并改变c d值。在图7中，我们可以看到，在不同的c d值下，有效介电常数的预测结果如图7所示，表明有效介电常数随核心分布概率c d的增加而增加。由于平均颗粒体积与c d的值成反比，结果表明多孔介质的有效介电常数减小。单调的平均粒径。在图7中，我们对计算出的有效介电常数的每个值进行了三次跟踪，计算出的有效介电常数不属于每条轨迹的相同值，但由于所生成的结构几何
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