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泊松比对于岩石的价值
摘要：相比于岩石的其他基本参数，泊松比是一个通常会被低估的弹性常数。然而，岩体力学中很多不同的领域需要十分重视泊松比。这篇文章会阐述泊松比在岩石力学中的重要性并对其进行分类。在对泊松比是不是一个材料常数这个古老问题的争论的历史记录解释之后，我们会简要回顾泊松比在材料，岩石，岩体弹性变形中所发挥的作用。此外，还汇编了一些元素、材料和矿物的泊松比的报告值，并给出了一些岩石和颗粒土的泊松比的典型值范围。最后，建议对各向同性完整岩石进行泊松比数值的分类。
关键词：泊松比，岩石，岩体，变形，分类。
- 简介
ISRM术语、符号和图形表示法委员会将泊松比定义为:在比例极限以下的拉力作用下，物体横向上的缩短与作用力方向上的伸长之比。令人惊讶的是，这一定义还有许多不足之处，即它在机械上是不准确的，而且不能令人满意。首先，除非平行于载荷的主体的初始尺寸等于其横向尺寸，该定义应涉及应变而非尺寸变化，然后，还有一个问题，就是在比值前缺少负号，此外，单轴加载不仅可以是拉伸的，也可以是压缩的。然而，ISRM的定义已经有大约30年没有被修正了。
这种力学性质的重要性没有得到应有的重视，因为所得到的岩石泊松比的数值变化范围很窄。虽然在大多数岩石力学应用中使用近似值或典型值不会产生重大问题，但泊松比在岩石和岩体在静、动应力作用下的弹性变形中发挥着不可否认的重要作用。此外，它的影响出现在各种岩石工程应用中，从对完整岩石的基本实验室测试到对原位应力或岩体变形能力的现场测量。因此，有关泊松比各方面的信息对岩石工程是有帮助的。
本文目的在于解决岩石泊松比的取值问题。首先，总结了泊松比的一些历史资料，强调了泊松比在力学中的重要性。然后，通过对矿物、完整岩石、节理岩体和岩石工程应用的具体介绍，回顾了其在岩石力学中的意义。并根据泊松比给出了完整岩石分类的建议。
- 历史背景
托马斯·杨(1773-1829)在1807年出版的《演讲》一书中提到了一个现象，引起了读者的注意。他指出，在钢筋的拉伸和压缩实验中，纵向变形总是伴随着一些横向尺寸的变化。
西莫恩·德尼·泊松（1781-1840），在托马斯·杨去世的那一年发表了他著名的研究报告，该研究报告于1828年4月14日，在巴黎科学院中被公开，对弹性系数做出了假设并在接下来的几年中引起了一些争议。对于原始长度为l，半径为r的各向同性弹性圆柱杆的简单拉伸，泊松提出，当长度通过变形变为时，半径必须为。基于一个不完整的分子模型，这种方法预测弹性常数，即我们现在知道的泊松比，假设值为1/4。
然而，Wertheim(1815 - 1861)后来进行的实验的结果不支持泊松理论的预测。Wertheim利用玻璃和金属圆柱形管进行试验，测量了轴向拉伸引起的管内体积的变化，从而计算了侧向收缩。虽然结果可以用各向同性材料的两个弹性常数来解释，他继续接受所谓的“单常数假设”，即对这类材料只假定一种材料常数(即拉伸或“拉伸”模量)。1848年，Wertheim在没有任何理论基础或与实验结果令人满意的情况下，建议采用1/3的数值来计算横向收缩与纵向拉伸的比值。在他1857年的研究报告中，Wertheim还报告了用圆形、椭圆形和矩形截面的棱镜或用铁、玻璃和木材制成的管状试样进行扭转实验的结果。他的结论是“拉伸-挤压比”不同于1/4，更接近1/3。
类似地，A.T.库普弗(A.T. Kupffer, 1799-1865)对金属线进行的测试也不符合“单常数假说”。1853年，Kupffer报道，扭转振动试验确定的拉模量与“滑动模量”(即剪切模量)的比值不同于5/2，即假设预测值。
弗兰兹·恩斯特·诺伊曼(Franz Ernst Neumann, 1798-1895)在他对库普弗尔的研究中假设，横向收缩与纵向延伸的比例并非恒定，而是取决于物质的性质。Kupffer还报道了Neumann在弯曲作用下将小镜子固定在矩形杆的侧边，发现其截面在弯曲过程中变为梯形。通过测量杆两端相对旋转的角度，可以光学计算泊松比。
1859年，诺伊曼的学生古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(1824-1887)在[8]钢制成的圆形悬臂杆上进行了直接实验，试图解决单稳性问题。他对悬臂梁的自由端施加一定偏心的横向载荷，使其同时产生弯曲和扭转。然后，利用悬臂[2]端附加的镜面，对悬臂的扭转角和悬臂端切线与水平线的夹角进行了光学测量。根据实验结果，基尔霍夫报告说，钢的“拉伸-挤压比”是0.297，黄铜是0.387，但他也对他使用的钢筋的绝对各向同性表示怀疑。
Barreacute; de Saint-Venant (1797–1886)考虑到矩形梁的纯弯曲,建立了泊松比的实验测定的基础。他指出，当梁两端受到等对力偶作用时，由于凸侧纤维的横向收缩和凹侧纤维的膨胀，初始矩形截面的形状发生了如图1所示的变化。实际上，初始直线AB(即中性面)向上微弯，对应的曲率半径为r/n，其中n为泊松比，r为弯曲杆轴线的曲率半径(图1)。由于这种横向变形，中性纤维a和中性纤维B与棒材上下表面的距离也略有改变。实际上，所有平行于中性表面的表面都将纵向向下弯曲，横向向上弯曲，即被拉入鞍形面。Marie Alfred Cornu(1841-1902)在1869年对Poissonrsquo;s ratio进行了第一次直接光学测量。在实验中，他使用了玻璃棒，得到的值几乎正好是1/4。1879年，H. R. Arnulph Mallock也报道了类似的弯曲实验，用于测定几种材料的泊松比。
图1所示。矩形截面弹性梁在均匀弯曲过程中鞍形面表面的形成
Neumann的另一位学生Woldemar Voigt(1850-1919)在1887 - 1889年间对单晶切成的薄型棱柱进行了扭转和弯曲试验，确定了弹性模量。结果明确地表明，对于各向同性弹性体，需要两个材料常数。从某种意义上说，Voigt的工作最终解决了关于一致假设的争议。
Love还报道了Pietro Cardani(1858-1925)和J. Morrow在1903年进行的直接测定泊松比的实验。最后，在1908年Eduard August Gruneisen(1877-1949)首次通过实验确定了单轴拉伸试验中横向应变与纵向应变之比为。这种方法后来成为用静态测试测量泊松比的一种常用方法的基础。
三，力学中的泊松比
在强调泊松比在力学中的重要性之前，应该对这个有趣的性质作出准确的定义。文献中关于泊松比的定义有很多，但也有很多是不完整的。泊松比，简单地说，是弹性材料在单轴应力作用下横向应变与轴向应变之比的负数。在可变形物体力学中，材料沿垂直于加载方向的方向膨胀或收缩的趋势称为“泊松效应”。
首先，泊松比出现在涉及胡克定律的表达式中。这种材料性能的值，可以用静态或动态的方法测量，在一个狭窄的范围内变化。虽然泊松比的许多材料的值接近泊松的1/4或韦特海姆的1/3的初始建议值，但今天一个众所周知的事实是，它对于各向同性材料的理论值在-1和1/2之间。这些下限和上限的存在是由于材料的杨氏(E)、剪切(G)和体积模量(K)必须是正的，这是基于热力学限制的。当泊松比接近0.5时，与橡胶类材料一样，材料容易发生剪切变形，但抵抗体积变形，变得不可压缩。对于这种材料，剪切模量远远小于体积模量。
虽然一些文献[5,11]指出负泊松比的材料是未知的，但确实有这样的材料的例子。它们包括细胞固体聚合物或金属泡沫材料等与反向或可重入细胞结构(例如v约等于-0.8的铜泡沫),各向异性纤维复合材料,和水晶等材料a-cristobalite。具有负泊松比的材料表现出违反直觉的“行为[13]:当向一个方向拉伸时，这种固体会横向扩张，反之亦然。”泊松比接近-1的固体是橡胶的对立面(反橡胶);抗剪切变形能力强，但易发生体积变形，即剪切模量远大于体积模量[13-15]。今天，泊松比为负的材料被称为“生长材料”或“增大的”[17]。
表1列出了一些元素的泊松比。另外，对于一些重要的材料，泊松比的数值如表2所示。
根据表1和表2，许多元素和材料的泊松比在0和0.5之间。
对于各向同性固体和弹性固体，可以表示一些仅依赖泊松比的量。各种弹性模量的比值是这些量的主要例子:
此外，各向同性固体在无限范围内的横波速度()与纵波速度(）之比也是一个例子:
其中为介质的动态泊松比，与静态试验得到的泊松比不同。此外,瑞利波速比剪切波速的值只取决于介质的泊松比,它可以作为下式的可容许(实的和正的)根
一般情况下，泊松比对不涉及物体力的平面弹性问题中的应力分布没有影响。然而，对于三维应力情况，泊松比的影响可能是惊人的。这种效应的一个典型例子是矩形梁在均匀弯曲作用下的马鞍面的形成(图1)，而泊松比影响杆或板的弯曲、弹性体的接触、转盘等产生的应力。
对于具有一定变形各向异性的弹性材料，用多重泊松比表示。例如，横截面各向同性材料定义了三个泊松比，其中两个是独立的(图2)。虽然弹性理论没有对这类材料的泊松比施加一定的限制，但从能量的角度出发，存在一个特定的不等式。它是这样的
其中，定义如图2所示。对于定义在其他方向上的泊松比，可以得到一些不寻常的值。事实上，理论上已经证明，只要应变能密度是正定的，各向异性材料的泊松比可以是任意大的正值或负值[30,31]。此外，对于各向异性弹性材料，定义了6个泊松比(图3)，其中3个泊松比是独立的[27,28,32]。根据图3中的符号，是单轴应力引起的应变所定义的，为。在某些岩石类型和节理岩体中观察到横向各向异性和正交各向异性，这个问题将在下一节中讨论。
图2 图3
四，岩石力学中的泊松比
由于泊松比是一种对弹性材料的变形起作用的力学性质，它被应用于与岩石变形有关的岩石工程问题中，例如，它是数值应力分析所必需的计算输入。在相关文献[33,34]中，一些岩石类型的泊松比很少出现负值或大于0.5的情况。这几例可能与高度各向异性岩石有关;此外，还报道了热致花岗岩微裂纹在压缩和拉伸[35]中产生负泊松比的原因。因此，对于各向同性岩石，泊松比的取值实际上介于0和0.5之间。事实上，以0.05和0.45为界的范围覆盖了大部分岩石。此外，在一些野外数据有限的岩石工程应用中，泊松比通常在0.2到0.3之间。
4.1矿物中的泊松比
某些矿物的泊松比如表3所示。需要注意的是，适合于矿物晶体的依赖弹性常数的数量取决于晶体的对称性，立方晶体的弹性常数为3，三斜晶体的弹性常数为21。因此，对于单晶矿物来说，给出泊松比的数值是不可能的。利用各向异性晶体的弹性常数值，可以确定同一材料的多晶团聚体的平均各向同性弹性常数。Bass[23]计算并给出了一些矿物的各向同性体块和剪切模的Voigt(上)和Reuss(下)界的平均值。表3所示泊松比值是用绝热值计算的等向同性多晶骨料的体积模量和剪切模量。
表3中一个有趣的项目是a-cristobalite，它是二氧化硅的晶体形式()。它的泊松比在0.08和-0.5之间变化，这取决于方向;此外晶体a-cristobalite的Voigt(上)和Reuss(下)界为和[15]。同样的，对于单个Love[6]报道了一个负泊松比(-1/7)，并认为这个“有些矛盾”的值可能是由于晶体的孪生;然而,最近的数据()[23]并没有证实这一结果。
4.2完整岩石的泊松比
虽然在大多数岩石工程应用中都要求岩体泊松比的取值，但在某些情况下，完整岩体的泊松比取值是是必要的。例如，在采用CSIR门塞、USBM钻孔形变仪、CSIR三轴应变单元和CSIRO空心包体单元的过取心方法中，需要对完整岩石的泊松比进行评价和解释[37,38]。此外，完整岩体值可视为节理岩体可能假定的泊松比的极限。图4给出了一些岩石类型泊松比的典型取值范围。请注意，图中没有包含一些异常的极端值，而且在自然界中总是可能出现异常。
一般来说，在实验室中可以通过动态方法间接测定泊松比[39,40]，也可以通过静态试验直接测定泊松比[41,42]。
动态弹性试验包括(i)测定岩石试样中纵波和横波的脉冲速度，或(ii)测量棒状或棒状圆柱形岩石试样纵波和横波的共振频率[39,40,43]。根据相关研究，泊松比的动态值往往容易出现相当大的误差[43]。
在岩石材料强度或变形能力的单轴压缩静力试验中，建议压板材料的杨氏模量与泊松比的比值()接近试件，以消除不良端部效应[47]。钢材是常用的加载压板材料，其接近670;然而，这个值通常比常见的岩石类型大。虽然铝()和黄铜()可能比钢提供更好的，但它们很容易损坏，因此，与试样直径相同的硬化钢板是比较好的选择[47]。
Bieniawski详细研究了岩石材料的脆性断裂机理[48,49]，提出了识别和分离破坏过程不同阶段的标准。Bieniawski认为，在单轴压缩柱状岩石试件中，从“线弹性变形”阶段过渡到“稳定裂纹扩展”阶段，周向或径向应变随轴向应力的变化开始偏离线性。换句话说，在线性弹性变形过程中，岩石的泊松比是恒定的，由于微裂纹的萌生或已有微裂纹[49]的扩展，岩石的泊松比开始增大。多年后，[50]得到了类似的结果。Cai et al.[51]最近报道，对于多种岩石，在单轴压缩条件下，裂纹萌生应力水平与单轴抗压强度的比值在0.3和0.5之间，在三轴试验中变化在0.36和0.6之间。
人们早就认识到，外加应力的性质影响岩石的力学性质。在压缩应力或拉应力作用下，表征岩石材料单轴变形能力(即杨氏模量和泊松比)的值是不同的。Krech et al.[52]等报道
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