数学与阅读
原文作者 Fred Lees，the mathematics department at Golden Junior High School, Golden, Colorado
本文的主要前提是各级数学教师都可以通过提高学生阅读数学材料的能力来提高学生的数学学习水平。作者并没有假定典型的课堂教师在这方面缺乏尝试，相反，他认为似乎有必要增加阅读数学问题的时间和精力。这种增加应该是非常慎重和系统的。希望本文在这方面能提供一些具体的建议。
人们普遍认为数学写作是很紧凑的。不鼓励跳过句子中的单词或符号。Nila Banton Smith(1964)在数学文本中发现了一些基本的写作模式：
（1）问题情境的短段落设置。这些是一直存在的语言问题，需要一种分析方法。
（2）解释性的较短段落。这些段落旁边通常附有插图，要求读者以非常专业的方式阅读。Jo McKeeby Philips（1968）建议儿童用手来帮助他们阅读此类材料。“他应该用一只手在段落中保持自己的位置，另一只手指向插图中对应的位置。”纸和笔在阅读并解决例题时也很有用。
（3）图形和图表是信息和思想的重要载体，构成独特的阅读问题。在正确使用之前，需要对每个方面进行详细研究。
（4）解释特殊符号、标志和公式时进行的数学阅读。对于许多学生来说，“我完全不懂”这句话在这里似乎很适用。通常，这些符号应该是经验的产物。当学生表现出缺乏理解时，通常就是需要更多背景经验的标志。 “数学符号的发明是为了表达思想，但是我们应该认识到思想在被符号化之前就已经被清楚地了解了。”（Fawcett，1946）。
数学教师可以利用阅读技巧和材料来帮助学生学习数学，包括诊断他们的需求，构建和使用理解辅助工具，并以一种现实的方式布置作业。
诊断学生需求
在诊断方面，有四个建议似乎最有用：
（1）可读性量表有助于对材料应适用的水平进行一般评定。尽管人们对通用可读性量表的使用有所关注（Kane,1970,1968），但通常使用的是fry、flesch和dalechall可读性量表。作者鼓励教师熟悉这些量表并加以运用。Donovan Johnson（1957）的一篇文章展示了Flesch公式在数学教科书中的改编。
如果按照一般主题进行，这些量表的应用可能更有效。例如，作者发现，当把比例尺应用于文本的几何部分时，一个基本文本的可读性提高了整整两年。阅读难度的突然增加意味着，如果文本是唯一可用的，则需要更多的阅读和学习辅助工具。
可读性的准则很难制定。这种困难部分是由于可读性量表和文本使用方式所固有的问题。在一项关于初等数学课文可读性的研究中，Heddens和smith（1964）提出了“文本的阅读水平应低于所用材料的等级”的建议。
（2）完形填空有助于确定文本的相对阅读难度。所用的数值是一个百分比数字，它决定了材料是否处于学生独立阅读、指导阅读或挫折阅读的水平。它对数学有重要意义，因为它衡量的是语境阅读的可读性。学生得到的材料每五个词就缺一个。他们要用他们认为作者可能会使用的任何词来填空。
成绩是由与作者完全匹配的单词数量决定的。Mary Ann Hater和Robert Kane姐妹（1970）建议通过在课堂上使用完形填空来确定“数学英语”的可读性。
（3）非正式阅读清单（IRI）可以根据使用的实际文本构建（McCracken，1972；Johnson and Kress，1965）。这可以在学年之初完成，而且似乎是一个极好的开学日活动。
IRI通常有一些相关的问题，如使用书本的部分、使用原始材料、理解词汇、注意主要观点、注意细节、得出结论、应用理论信息、遵循指示和注意组织。如果其中某些部分与所涉文本无关，则可予以删除。非正式的阅读率检查也可以包括在清单上。
一般的方法是管理清单并为每个学生制作一份清单。结果可以由教师随后根据其含义来判断。
IRI的另一个重要用途是为文本的正确使用设置基调。数学的学生有时只把书本当作指定问题的来源。IRI可以说明文本中学习辅助工具的位置。
作者建议每年至少使用两次IRI，每学期开始时使用一次。这样转学学生在进入新班级时也可能从中受益。
（4）阅读能力的标准化测试往往无法向数学教师传达有用的信息。然而，测试的分数确实给学生的阅读能力提供了一个总体的评价，并且应该被包括在诊断每个人需求时所使用的信息中。一些教育工作者建议在异质的教室中使用多文本教学法。如果这种方法可行，那么这个总体的阅读水平将被用来确定每个人的完形填空或非正式阅读清单的文本。在这种情况下，标准化测试的成绩提供了一条从何处开始的线索。
理解
阅读理解辅助工具也有助于教师降低孩子学习数学的难度。有八项建议似乎是合理的：
（1）前面提到的非正式阅读清单，可以通过让学生意识到课本中的学习辅助工具来帮助他们。老师应不时提醒学生这些辅助工具的位置。
（2）完形填空能处理上下文中的单词。因此，它在帮助学生理解文本作者所使用的数学语言方面可以发挥重要作用。Robert Bortnick和Genevieve S.Lopardo（1973）在一个程序中概述了四个步骤，用于完形填空的教学。首先，学生阅读整篇文章，边读边寻找线索。第二，请人大声朗读每一段落，学生为空白部分提供选项。学生也必须为他们的选项提供理由。第三，为每个空白部分确定一个可接受的解答。第四，将最终的段落与文本中的实际段落进行比较。这种比较还可以激发进一步的讨论。
完形填空法的一个明显优势是，它为更仔细、更激烈的阅读奠定了基础。希望学生能借此提高他们的专注力。这个程序可能也适用于数学的娱乐性阅读。一些书籍阅读水平很高，写作风格相当复杂。这一过程可能有助于学生理解文本的意义，使阅读过程不那么令人沮丧。
（3）学习指南对学生来说是一个有用的工具，尤其是当新的想法、词汇或符号出现时。学习指南的格式可以根据教师项目的重要性而变化。词汇当然要包括在内。许多研究报告指出，与一般词汇相比，数学词汇与数学成绩的关系更大。可以鼓励学生利用课本中提供的词汇辅助工具。一本通用词典有时也很有用。George F.Freeman（1973）阐述了学习指南在三种不同情况下的使用：故事问题、内在价值和公开场合。
（4）当学生被要求阅读一篇文章并为某些特定目标解释其思想、符号和词汇时，阅读指南最为有用。再次，指南应该指出对老师重要的事情，并指导学生进行分析性思考。阅读指南应根据学习者的类型进行调整。有些学生可以进行分析性思考，而有些学生只能搜索特定的细节。
（5）“hellip;hellip;没有对数学词汇的充分理解，学习数学的原理和技巧是不可能的。”（Lenore，1946）。这似乎是一个关于词汇的强有力的陈述。然而，对数学词汇的理解与数学成绩之间的关系已经被证明是一种很强的关系。数学课本中的一些单词具有多重含义。其他词汇不是一个人通用词汇的一部分，还有一些词汇则传达一个过程或以特定的方式被定义。这些单词应该引起更多的注意。有些线索是由前缀和后缀提供的，而另一些时候则是词根传递的。Freeman建议使用配对练习来加强对词汇和符号的教学。一般来说，教师应该预览那些学生会感到陌生或一再难以理解的单词。在分配任务之前建立一个充分的背景是必不可少的。
（6）正如词汇需要丰富的背景经验一样，数学符号的解释也是如此。Mary Ann Hater、Robert B.Kane和Mary Ann Byrne（1974）指出，有时阅读符号涉及许多眼球运动的方向。应该帮助学生改变他们的习惯，从阅读一篇叙述性文章的左右移动到阅读数学符号所需的多个方向。
（7）应该给学生一些比较在不同情况下的阅读速度的体验。人们普遍认为阅读数学材料比阅读叙述性材料需要更慢的阅读速度。需要让学生意识到这一点，并在阅读前告知他们所需要的阅读速度。例如，教师可能希望学生只阅读一般性概念，从而快速阅读材料。在其他时候，阅读和重新阅读又是有必要的。
（8）一组被称为PQ4R的技巧被推荐作为提高阅读作业理解的一般方法。缩写代表预习、提问、阅读、反思、背诵和复习。预习被推荐为一种在阅读中集中注意力于主要观点的方法。这是阅读文字问题中必不可少的第一步。
提问环节要求叙述性文章的读者在阅读时提出自己的问题。他们可以预估老师会问的内容，或者简单地提一些问题，如文章叙述的重点是什么。在解决文字问题时，他们必须寻找问题中的问题。
下一步，阅读，要求学生集中精力阅读细节。如果他们正在解决一个文字问题，他们会寻找可以被写为数学符号的短语或单词。这些将被记录下来，以便以后在方程的构造中使用。
反思是程序的下一步。它要求读者重新审视阅读中的想法，以确保他们仍然能够控制这些想法。在文字问题中，他们应该反思问题的类型，以及他们在构造最终的数学句子时所选择的重要部分。
Anthony Maffei（1973）建议在处理数学语言问题时，将下一步从背诵改为重写。正是在这一步中，方程被构造和求解。Maffei还建议将变量值代入方程中，并在最后一步（复习）中进行检查。同样的价值也应该通过重读原问题并代入数值来判断其合理性。Maffei认为“hellip;hellip;PQ4R在中等到中等以下的学生中效果最好hellip;hellip;”
作业
当要做作业时，将学习指南、阅读指南、词汇辅助工具和准确解释符号所必需的背景经验包括在内似乎是最有效的。进行可读性检查也是明智的。如果阅读水平太高，则应重写材料或选择其他来源。学生也将找到关于他们应该多快、多频繁地阅读文章或问题才是有帮助的建议。在课堂上阅读指定材料时，应举行简短的“练习课”，并由老师提出建议。
每一项作业都应该花一些时间来解释作业的方式、内容、原因和时间。知道如何处理作业、寻找什么、为什么要这样做以及什么时候完成，学生将极大地受益。阅读提供了一些可以帮助学生学习数学的技巧和材料。如前所述，该作者认为其中一些想法已经在数学课堂中找到了。例如，数学教师通常试图提供背景经验。然而，笔者也认为，将本文中提到的思想包括在内将进一步促进学生的数学学习。这些技术和材料应该为减轻许多学生对数学学习的恐惧提供一种途径。
外文文献出处：Journal of Reading, Vol. 19, No. 8 (May, 1976), pp. 621-626
附外文文献原文
Mathematics and Reading
The major premise of this article is that teachers of mathematics, at all levels, can improve their students learning of mathematics by improving the ability of the student in reading mathematical material. The author does not presume the absence of at tempts in this area by the typical classroom teacher. Rather, there seems to be a need for an increase in the amount of time and energy de voted to reading problems in mathematics. This increase should be very deliberate and systematic in its purpose. This article, hopefully, contains some specific suggestions in that direction.
It is generally agreed that mathematical writing is very compact. Skipping over words or symbols in a sentence must be discouraged. Nila Banton Smith (1964) has identified some basic patterns of writing in mathematical texts:
1) The short paragraph setting of a problem situation. These are the ever present verbal problems which re quire an analytical approach.
2) The comparatively short explanatory paragraphs. These para graphs usually have illustrations placed adjacent to them and require the reader to read in a very specialized way. Jo McKeeby Philips (1968) suggests that children use their hands to aid them in reading such material. 'He should use one hand to hold his place in the paragraph and
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