·Educational Studies in Mathematics
学会提出数学问题：探索
职前教师实践的变化
原文作者 SANDRA CRESPO 单位 密歇根州立大学教师教育部
摘要：学习提出数学问题是学习数学教学的挑战之一。然而，职前教师如何以及何时可以学习这一基本实践并不清楚。本文报告了一项研究，该研究考察了一组初级职前教师在向学生提出问题时提出问题策略的变化。据报道，他们后来的问题提出实践与之前的问题提出实践有很大不同。这些职前教师不是提出传统的单一步骤的计算问题，而是冒险提出具有多种做题方法和解决方案的问题，这些问题是开放式和探索性的，并且在认知上更加复杂。他们的问题风格也发生了变化。相较于使学生的作业更容易或者缩小问题的数学范围，变得减少了引导，同时也不太注重于避免学生的错误。向真正的受众提出问题，参与协作提出问题，有机会探索新类型的问题，这些都是促进和支持所报告的变化的重要因素。
关键词：学习数学教学；职前教师学习；问题提出实践；
NCTM Professional Standards (1991)强调了有价值的数学问题的选择和构建，这是教师需要做出的最重要的教学决策之一。教师在课堂上提出的问题值得被重视，因为他们能打开或关闭学生有意义数学学习的机会。它们传达了关于数学本质的隐含信息：它是什么，它需要什么，什么是值得学习和实践的数学。NCTM (1991)中提出：数学问题不是轻易选择的，因为在教科书中它们需要很有趣或者有意义。所以，应该选择有可能“提升学生的智力”“可以通过多种有趣的方式解答”“激发学生联想并为建立一个连贯的数学思想框架”的问题。(NCTM,1991,p.25)
长期以来，数学教育工作者一直呼吁改变学生提出的典型问题。例如，NCTM (2000)认为，要求学生应用已知程序得到预期答案的问题，与要求学生推理、交流、表达、问题解决和进行数学联想的任务有很大不同。然而，有价值的问题不一定是独一无二的，创新的，色彩鲜艳的，设计复杂的任务。即使是最常规的数学活动，也可以构建成一种有价值的数学经验，以便让学生参与数学探究（参见Butts，1980；Schoenfeld，1989）。例如，Hiebert 及其同事（1996）已经展示了：当学生被允许生成和分享计算问题的多种方法时，两位数相加的问题是如何能够吸引二年级的学生的。Sullivan和Clarke（1991）的研究也表明：即使是典型的“四舍五入”练习如：“将5.77精确到十分位”也可以转化为数学上丰富的任务，例如：“一个数字四舍五入是5.8，这个数字可能是多少？最大和最小的可能答案是什么？”。
NCTM（1991）认为教师的角色在挑选和使用数学问题中的作用至关重要。“通过分析和调整问题，预测可以通过解决问题得出的数学思想，并预测学生的问题，教师可以决定一些特定的问题是否有助于进一步深化他们的课堂数学目标”（NCTM，2000，p.53）。然而，研究表明，大多数教师的问题是封闭的和实际的（参见Edwards and Mercer,1987；Vacc, 1992），教师对学生提出的数学问题通常集中在记忆性和程序性或“低认知需求的问题”（Henningsen and Stein,1997）。此外，Henningsen和Stein报告说，除了极为罕见的让学生参与联想和数学性的问题，或者是他们称之为“高认知需求的任务”外，往往还是会在会在教学过程中重新制定成要求较低的问题。
这是数学课堂中的一个严重的问题，因为正如这些研究人员所发现的那样，学生在课堂上学习非常多的东西，而课堂上的问题总是有很高的认知需求（Henningsen and Stein，1997）。然而，学习提出有价值的数学问题显然不是一件容易的事。对于未来的学校教师来说，情况可能会更糟，在16年的教育之后，他们可能已经习惯于解决和回答老师或课本上的问题。当角色转换，职前教师有能力为他们自己的学生提出数学问题时，他们会选择什么样的问题？他们会怎样提出这些问题？职前教师如何学会提出更具意义的数学问题？什么样的经历有助于抵消他们多年作为学生，在大多数教师提出的问题都是封闭的和实际的课堂上学习到的经验。
理论上的考虑
在本研究报告中，上述问题是在一个数学教师教育课程的背景下进行调查的，在这个课程中，职前教师有机会向学生提出数学问题。虽然大多数教师在准备课程时倾向于将教学的实践性或体验性部分推迟到“学生教学”或“教学练习”体验，但本研究中的职前教师得到了在校园教师准备课程期间与学生一起工作的机会。在讨论研究的具体细节之前，我们先讨论了指导课程和研究设计的基本理论因素。
对职前教师的知识和信念的研究证实了上述问题的重要性。在对教师候选人的数学知识的研究中，Ball（1990b，c）得出结论：准教师从学校和大学数学课程中带来的数学理解不足以教授中小学数学。后来的研究也支持了鲍尔的结论，即未来教师以前的数学经验有助于他们发展规则约束和稀疏联系的学科知识(e.g.,Even, 1993; Simon, 1993)。这表明，教师教育课程的设计不仅要扩展未来教师的数学知识基础，还要提供机会来改变和修正未经检验的关于学科和教学的知识和信念。
然而，帮助未来的教师重新考虑他们先前的知识和信仰并非没有一些挑战。与之前的 14 年教育相比，通常他们花费在教师准备课程中的时间很短，Ball（1990a）指出，“这是一个微不足道的，几乎无足轻重的时间”（p.15）。尝试考查职前教师知识和信念的教育课程的研究报告取得的成功非常有限（见Ball 1990a; Borkoet al. 1992; Eisenhart et al., 1993）；事实上，一些研究人员报告说，教师准备课程和实地经验往往强化而不是挑战职前教师的先前知识和信念（参见Britzman,1991;Feiman-Nemser and Buchmann,1986;Zeichner and Gore,1990）。
一些研究人员认为，一部分问题在于，在不立即需要申请的情况下，未来的教师在教学过程中会有选择地关注和忽视教学和学习可能会或可能不会发生的内容（(Borko et al., 1992; Holt-Reynolds, 1992）。从情境认知领域的理论家的角度来看，这样的结果或缺乏这些结果并不奇怪，这些理论家断言，一个人所学的知识与他的学习知识的方法是密不可分的，并且知识与开发和使用它的活动，环境和文化不可分割。（见Brown, Collins, and Duguid, 1989）。尽管人们对如何从经验中学习和构建意义知之甚少，但他们认为，积极参与真实的活动对于学会在实践社区中思考和行动是必不可少的。
Lampertrsquo;s（1985）和 Schouml;n（1983）关于从业者如何在其实践中学习的著作也强调了实践者知识的情境性，以及在成为有思想的从业者的过程中，学习询问和反思自己的实践的中心性。在Lampertrsquo;s和 Schouml;n的叙述中，当实践者面临实践中存在的问题或困境时，他们的信念和行为之间的紧张关系就会出现，并引发与己和他人的反思性对话，从而帮助支持实践的改变。这种对变革过程的概念化意味着，变革可能是由于机会经历一个人的信念和行动之间的紧张关系的机会以及反思这些经历的机会引起的。
这种关于教师学习的情境观点启发了作者和同事重新设计数学教师教育课程，使其融入一种“真实的”数学教学经验，包括与学生的持续互动以及反思这种经历的机会。在这项研究中，真正的教学经验采用了职前小学教师和小学四年级学生之间的信件交换形式。这一模拟教学经验的灵感来自于Fennell（1991）的启发，他使用交互式信函写作为一种环境，教导职前教师诊断学生的数学技能、态度、解决问题和写作。这项研究也是基于作者和合作教师先前进行的一项研究，他们在研究中探索了笔友信件作为学生数学交流和职前教师学习儿童数学思维的背景的潜力（见Phillips and Crespo，1996）。
本研究所设计的书信写作情境提供了一个真实的体验，它平行并模拟了数学教学实践的三个重要方面：提出问题、分析学生的作业、反馈学生的想法。这种情境虽然是模拟情境，但可以使职前教师将他们的思考集中在这三种实践上，而不会不会受到其他重要问题（例如纪律或课堂管理）的干扰。通过写作与学生互动的另一个潜在好处是，由于这种互动是即时记录的，因此可以在不同的时间点单独或与同伴进行回顾和反思。
尽管实际教学实践与模拟教学实践之间存在着非常重要的差异，但模拟教学实践有可能成为未来教师潜在的学习的丰富背境。考虑到口头和书面交流的信息量的差异，以及教师面对面或通过书面设计问题的时间量。尽管最重要的是，未来的教师要学会提出问题和分析正在讲论的内容，但减慢教师与学生之间的互动速度可以帮助职前教师以更具反思性的方式参与和练习这些技能。此外，与同一个学生在一段时间内的多次互动，提供了将教学作为实验、反思和复习的背景的机会，就像schon和lampert研究中讨论的反思实践者一样。
研究
问题
在模拟教学环境下学习的假定益处中，许多问题仍然存在，比如，如何设计一个写作经验并将其作为学习数学任务的场所。与分析和回应学生工作的做法有关的职前教师学习情况已在其他地方进行了探讨和报告（见Crespo，2000，2002）。关于数学问题的提出，本研究探讨了以下问题：（1）职前教师如何向学生提出数学问题？（2）这些做法如何改变？（3）什么因素导致了这种变化？
设置
这些问题是在加拿大一所大型大学的所有职前小学教师（1-7年级）必需的两年制教师准备课程的数学教师教育课程的实验版本中进行调查的。这个版本的课程是三位数学教育家和一位数学家的合作设计和教学。与课程的典型版本不同，实验版本具有与课程相关的现场体验，贯穿课程的整个过程。教师们邀请职前教师（34人）在两个实地项目中进行选择；其中一个项目要求职前教师（14人）在6/7年级的班级中与学生进行小组教学（见Nicol，1997，1999）。第二个项目是本研究的重点，它提供了一个“笔友调查”的经历（见Crespo，1998），在这个项目中，职前教师（20人）每周与一到两名四年级学生交换数学信函。这两个项目都是作为调查儿童的数学知识和性格的机会提出的，并且尝试着调查他们的问题和想法与将要在课程上学习的数学教学和学习之间的联系。
课程
该课程为期11周，每周两次，每天1.5小时。每一周包括一场研讨会和一堂现场体验课。在每次的研讨会中，职前教师都参与数学的学习（例如，解决问题和讨论解决方法）和教学探索（例如，分析问题的教学价值，预测学生的工作，重新评估不同年级的问题）。三个教学主题（理解教学，数学任务的设计和分析，以及儿童思维的理解）和乘法思维的数学主题（关于比例，乘法和除法，百分比和相对大小的推理）帮助构建和设计所有课程活动。
课程共有19节课。其中八节课是专门致力于阅读和写作信件的经验。这项与学生的互动工作在整个课程中以各种方式得到支持，包括汇报会、小组协作读写信件以及每周的日记反思。每周的日记条目是一个写关于课程体验和与学生互动的地方，这些条目每周都由老师阅读和回复。尽管该杂志在关注点和内容方面没有结构化，但建议采用描述性/解释性格式，帮助职前教师在分析之前详细描述一段经历。最后一个作业，职前教师写了一份“案例报告”，这是一篇他们分析和综合在课程中的学习经验的论文。
职前教师写了并收到六封数学信。这些信件的内容和重点都留给了作者来完成；唯一的要求是为他们的笔友提供一道数学问题，让他们来解决。尽管问题的选择由作者决定，但在第3、4和6号封信中，有三次要求职前教师至少提出一个在课堂上介绍和探讨过的共同问题。四年级的学生使用系列课程学到的格式来写他们的第一封信启动了信件交换（见Phillips，2002）。他们先讲述自己的个人信息，然后是作为一个学生，他们学习数学的喜好，如何教授数学的建议，私人的或是专业性的问题（为什么你想成为一名教师？），他们正在学习的喜欢或不喜欢的数学示例，以及职前教师要解决的问题。这为随后的信件交换设定了基调结构。
参与者
参与该课程的职前教师和所有参加该大学两年教师预备课程的教师一样，完成了文理学院至少3年（90学分）的课程学习，并至少完成了一门数学系提供的大学数学课程。本课程中的34名职前教师（9名男性，25名女性）都被告知并被邀请参与该课程的研究方面；笔友项目中的20名职前教师中有13名自愿将其工作用于本研究。其中包括1名男性和12名女性。四年级学生就读于一所位于中产阶级社区的学校，年龄分别为9岁和10岁，大部分为白种人，英语流利（就他们的学龄而言）。只有两个学生在家里不说英语。
数据分析
该研究的主要数据来源是：（1）13位参与的职前教师与学生之间的数学信函交流，（2）职前教师的每周数学期刊，以及（3）课程结束时提交的最终案例报告。尽管所有这三种形式都是书面的，但它们都为职前教师的学习经历提供了不同的看法。这些信件提供了与学生实际互动的记录；这些期刊记录了职前教师对他们与学生最直接互动的计划、反思和分析；案例报告提供的不是关于任何一种特定互动的反思主题，而是关于整个体验的反思主题。
通过对每一位职前教师进行个案研究（Yin, 1989）并注意到他们方法的异同，确定了职前教师选择和适应问题的模式。在构建每个案例时，特别注意了NCTM（1991）文件中讨论的问题提出的几个方面。这些
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