应用间接边界元法求解流体-固体耦合问题外文翻译资料

 2022-10-23 11:25:25

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Soil DynamicsandEarthquakeEngineering31(2011)470–477

应用间接边界元法求解流体-固体耦合问题

A. Rodrıguez-Castellanos E.Flores , F.J. Snchez-Sesma , C.Ortiz-Alema, M. Nava-Flores， R.Martin

摘要：本文研究弹性波在流体-固体界面中的散射问题。在二维问题中，我们用间接元法研究了这种波的在平面上传播的现象。文中考虑了三个模型是：第一个具有两个半空间之间的界面，第二种是流体在固体上面，流体处于上半空间。第三种是流休在固体之间。在模型二，第二类汉克(Hankel)源函数应用于流体。间接公式能深刻分析物理现象，如分析衍射波，实现惠更斯原理的物理现象。在任何情况下，它在数学上是完全等价于经典善秘金娜（Somigliana）定理。与一种离散波数分析解比较，验证了本文方法的精度。近界面脉冲产生的散射波，可以传到在流体中的接收器，接收器能给出波在固体中的速度。结果用时域和频域表出，且讨论了几个相关类型的波。

1 引言

由于复杂性，液固界面–已在物理许多领域进行了广泛的研究。例如，可以用解析的方法研究海洋层覆盖一个弹性的固体，参考比特（Biot） [ 1 ]和尤因（Ewing）[2]等人的开创性工作，其中特别研究了斯通利波和瑞利波之间的相互作用。其它主要应用到海洋底部液固界面问题[3,4]。用相同的思路，在卡行（carcione）和赫勒（Helle）的文章中[5]，在物理上，讨论了有关波的传播原理，讨论范围从软岩到地壳。理论分析表明，由于地震，瑞利波出现在海洋环境中[ 6,7 ]。

弹性波的扩散也用多种方法研究[9-12]，在不同的压强下，郑英（Zein）[13]发表了有关结果。

多孔介质中的波扩散也有多篇研究文章[14-18]，特别是饱和介质中的动力扩散，对上层流体有重要的作用。在交界面出现了散射波的现象也有研究[11，19-12]，他们给出了界面波速度和分莆参数。Green函数也应用到三维均匀声波和弹性波扩散[23-24]，且可用于数值计算。数值计算用以分析流固耦合问题。例如固体边界为一个流体区域或两个流体区域。

有限元法，有限差分法等用于流固耦合计算[25,26].谙法有伪谱法具有较高有精确度。FOURIER和Chebyshev差分算子，以及两层网格也能有较研究液固界面波的传播，例如海洋和陆地中的地震。Komatitsch et al. [28] 介绍了谱元法，该法能用于复杂地形计算。

本文引入非直接边界元法，分析界面声波和弹性波的扩散。研究三类问题，第一种是固体在下半平面，流体在上半平面。第二种是流体在固体上面，第三种是流休天固体之间。点源用汉克（Hankel）函数，表达流体的初始压强。本文公式可用于Huygen原理计算，求出幅射波的散射。采用半经典数学表达式。本文结果与离散波数法(DWN)进行了比较. 下面，将应用IBEM法研究流固耦合。

2 非直接边界元法公式

图1给出了三种模型，第一种是固体在下半平面,见图1a，流体在上半平面。第二种是流体在固体上面,见图1b，第三种是流休天固体之间,见图1c。

图1 三种模型

将IBEM方法用于固体之间的流体，见图1c,d. 简单地讲，前两种模型能由这个模型推导出。在流体中的入射脉冲可以表示为

（1）

式中为流体中的脉冲，，C(omega;)为脉冲参数, omega;为园频率，为第二类汉克函数，cF为流体中压缩波速度。r=r(x)为到源点的距离（脉冲点）。

波在流体中的控制方程为：

(2)

式中为流体密度。如将流体中的压强考虑为流体压力，则应力表达为：

（3）

流体质点的位移为通用公式：

（4）

流体中的脉冲波作用到弹性介质，由此产生散射波，我们用下面公式表达：

（6）

式中

（7）

这里Psi;为流体动力函数。为流体格林（GREEN）函数。c1为区域参数，在[-0.5,0.5]之内取值（c2取值下面将给出）。

场中的散射波位移场由(6)式计算。满足(2),(4),(5)式，也能由(5)式推导出。

流体中的总压和总位移可以表示为：

(9)

由于源汇法只能应用于流体，固体中的波下面讨论。

考虑区域V，边界为S，边界为弹性固体。当为各向同性材料时，可以用边界积分方程表示位移场：

(10)

式中，ui(x)=ith, 为在点x处的位移分量。Gij为GREEN函数.i为方向, j为源点zeta;方向。i,j=1,2,3.下标表示积分量。为力的密谋函数。乘积表示在点zeta;的j 方向的力密谋分布。式中重复下标为求和，从1到3求和。下标不同表示积分变量不同。积分能用善秘金娜（Somigliana）表达[29]。另外，如在边界上连续，则在流体内部位移也连续[30]。

直接应用火克(Hooke)原理和柯栖方程，由积分表达式计算压强。若点x近边界，则可以取一个小区域边界代替实际边界，然后取极限计算，结果为：

(11)

式中为贡献分量函数，x由内点趋向边界S,c2=0.5. 如从外面趋向边界，则c2=0. 为贡献格林函数，它为在x点i方向上的贡献。为单位法矢。由于应用S上点zeta;的j方向上的单位力，引用二维格林函数[31,32]. 应用IBEM到三维，能得到结果[33-35].

3 边界条件

根据图1c,d, 将区域分为两个子区域(S,F). 有流固耦合边界条件：

（12）

（13）

（14）

(15）

（16）

（17）

根据式(4,6,10,12),有边界条件：

由(11,13)式，得无限制条件：

由(1，5，11),(5)，(14)的边界条件可以写为：

边界条件(15-17)与(18-20)类似，都能用于边界和。

4离散计算

本节将用离散方法计算方程(18)-(2)。设力函数phi;和psi;在区域S和F中的单元内为常数(见图1d)，高斯积分可写为（或解析积分，这里积分是单值的）

方程(2)可以写为

用相同的方法， 也能将(式18-20)进行离散。边界和也进行离散。

等式(21,24,26)(包括由边界和推导的条件）构成积分方程，然后求出力函数phi;和psi;，进而由等式(8,9)求出位移。对于固体，由式(10,11)求得所有附着摩擦力和位移。IBEM离散方法见[36-39].

5 算例

为了验证本文方法的精确度，我们用离散波数方法计算了流固耦合界面问题。这是一种利用了上半平面的格林函数的方法[40]. 详细的DWN方法见图1c,d. 也参铜陵附录。为了方便计算，IBEM和DWN在模型1a,1b中没用，但能由边界条件得到相同的离散表达式。

为了比较计算结果，我们考虑三种办面模型。第一种是固体在下半平面，流体在上半平面。第二种是流体在固体上面，第三种是流休天固体之间。7种工况的参数由表1给出。

表1. 流固耦合计算参数

表中参数引用于波街尅（Borejko）文献[41]，cp表示波速度，cs表示剪切波速，rho;为质量密度。波街尅在理论和试验表明，7种材料都出现波的界面。其理论结果与试验接近。

三个模型都有结果。模型I和III的人工地震记录结果见图2,4. 实线为IBEM计算，虚线结果由DWN计算。在图1a中给出了15个接受器的结果，a=0.05m,b=1.00m,接受器之间的距离为0.1m. 由IBEM和DWN得到的结果见图2a-c.

由图2a(对应表中为工况I)清蜥给出波的前部。第一前部为P波的反射。为流体中源的入射波。到达接受者的时间为tp.第二个前部到达时间这1501m/s，记为td. 最后一个波为斯卡物（Scholt）波，运动速度为823.5m/s. 可见，在固体中波的速度小于流体中的速度。流体中的S波和P波没有接受[28]，记为tsc.。对于工况I，在固体和流体中，剪切波速度较小。流体中折射的S波能转化为P波，但接受器没收到信号{见文献[28]). 类似的情况也在图2b,2c中出现，流体中的直接波能感知，且这种情况下，其他类型的波的影响可以忽略不计。当入射波(源)撞击固体时，出现P波传播，P波转化为S波。折射P波转化为S波，且在固体中出现折射P波。固体波的速度影响流体中的接受响应，这些接受器在流固边界附近。

在频率域，0.20m厚的软层位于半空间的效应由模型II（工况4）给出。用二次多项式计算得材料特性。工况1和4结果见图3.I。工况1中，BEM和DWN的计算结果相近。考虑软层时，有共振现象。

模型III（工况5-7)的人工地震结果绘于图4. 实线为IBEM， 虚线为DWN。两都吻合，且有明显的界面。安装15个接受器，a=0.05m,b=1.00m,接受器之间的距离为0.1m. 图4a（工况5), 检测到两个前沿波。用时为tp, tSc. 图4b,c, 给出流体中的正向波，其它波没有测量到相应的信号[41]。这种现象与伪Rayleigh波有联系。

对所有模型，边界离散为直线段，段长由波长决定（每个波长分为六段），模型I，II，III中，-2.575mlt;x1lt;2.575,见图1a,1b 最后一个模型的流体边界层0.1m,见图1c,1d. 安装的15 个信号接受器。最前和最后波的距离为1.0m,2.4m.自由面的截断由人工摄动方法决定。然而，这些摄动法由小参数决定，且在模型中有作用。对于高频（所有模型用19,200Hz),。流体和固体的每个边界用250 个单元离散。模型I，II，III中的方程为750,1750,1500,最多用时40.57s，最少用时6.75s.

图2, 波的前沿。

图3波的传播。

图4.模型III的压力信号。

6 结束语

本文用非直接边界元法研究二维波在流固边界中的传播。非直接公式能给出解析的结果，提示界面折射波的物理现象，真实展现虎金（Huygen）原理，得到描述折射波的物理特性。所有工况，数学上与经典的善秘金娜（Soimigliana）理论一致。为了检验本文方法，引用离散波的分析解进行比较，所有结果有吻合。当脉冲波接近边界时，流体中的接受器有反映，接受到信号。其结果表达为时域和频率域。在两种工况，IBEM和DWN计算结果相近。可见，IBEM和DWN可以作为优秀的计算工具。

由IBEM计算的结果是典型算例。甚而，对于非平面，有裂隙的固体，其中含有流体。这样的计算是我们当前的工作。

感谢

感谢国家信息服务学院的学者G.Saacute; nchez, E.Plata,E.Chaacute; vez, andL.A.Cruz。他们提供了有用的参考文献。本文由墨西哥项目DGAPA-UNAM, IN121709, SENER-CONACYT 128, 376资助。

附录A

A.1. 表示离散波法 (DWN)

离散波法是模拟地面震动的方法。从地震源幅射的波由波数积分表达。方法的主要思想为：在超级平面，波用离散角传播。当介质没有非弹性消耗时，积分中的分母为零的波数使得数值计算无效。为了解决这一问题，在波数中引入复数。

在图1c,1d中，流体的脉冲波为

式中k为波数，且

eta;lt;0.离散为

没在流体中，压力和位移可以表示为：

且

在固体中，假设位移势函数为，和，这里，，，。alpha;为压缩疲速度，beta;为剪切波速度。

位移场表达为，。压强表示为从所周知为形式：

边界条件为：

由边界条件，能求出未知量An,Bn,Cn. 所有压力场就能由式(A.2)表达出。系统解为：

参考文献

[1] BiotMA. TheinteractionofRayleighandStoneleywavesintheoceanbottom.

Bulletin ofthe Seismological Society of America 1952;42:81–93.

[2] Ewing WM,JardetzkyWS,PressF.Elasticwavesinlayeredearth.McGraw-Hill

Book Co.;1957.

[3] RoeverWL,RosenbaumJH.ViningTF.Acousticwave

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