关于“考虑燃料消耗和船舶排放的泊位分配”的说明外文翻译资料

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运输研究部分E 49（2013）48-54

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运输研究E部分

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关于“考虑燃料消耗和船舶排放的泊位分配”的说明

_王帅a,b_，孟强b_刘志远b,^uArr;

^a澳大利亚新南威尔士州卧龙岗市卧龙岗大学数学与应用统计学院，新南威尔士州2522 ^b新加坡国立大学土木与环境工程系，新加坡117576，新加坡

文章信息

文章历史：

2011年12月20日收到

收到修订后的表格2012年5月22日接受

2012年6月23日

关键词：

海运

燃料消耗优化二次外近似二阶锥规划泊位分配

摘要

杜等人。[Du，Y.，Chen，Q.，Quan，X.，Long，L.，Fung，RYK，2011。考虑燃料消耗和船舶排放的泊位分配。交通研究部分E 47,1021-1037]涉及船舶燃料消耗最小化的泊位分配问题。为了解决功率函数在燃料消耗率和航行速度之间所带来的困难，他们制定了易处理的混合整数二阶锥规划模型。我们提出了两种二次外近似方法，可以更有效地处理一般的燃料消耗率函数。在静态二次外近似方法中，近似线是先验地生成的。在动态二次外近似方法中，近似线是动态生成的。数值实验证明了这两种方法的优点。

copy; 2012 Elsevier Ltd.保留所有权利。

1. 介绍

杜等人。（2011年）提出了一个连续泊位分配问题（BAP），考虑到两个目标：船舶的燃料消耗最小化：一个旨在最小化所有船舶的燃料消耗;另一个旨在尽量减少所有船舶的总离港延误。为了获得有效前沿，第一个目标在第二个目标不比某些值更差的约束下被最小化，并且整个模型被解决为单个目标优化模型。

为了使本说明相对独立，我们简要介绍了解决的问题杜等人。（2011年）.给定泊位计划中由V表示的一组船舶，船舶的燃料消耗率即速度为V的V可通过以下方式估算：

eth;1THORN;

其中c⁰;c¹和li是非负参数[见Eq。(8) 在杜等人。（2011年）].船舶即V与泊位之间的距离是

i i

由mi （海里）注明。船舶的到达时间ai 即V由区间frac12; ai界定;-i]，由...决定航行距离mi 和船舶的最大和最小航行速度。为了最小化燃料消耗，优化每艘船的到达时间ai （或等效地，速度）即V。旨在最小化所有船舶燃料消耗的目标可以表述为

受必要的线性约束。因此，具有燃料消耗最小化的BAP被表述为混合整数非线性规划模型（整数变量与泊位分配相关联）。

1.1. 二阶锥编程方法

解决上述模型的主要挑战是方程1中所示的非线性目标函数f1 。(2) 由燃料消耗率和航行速度之间的功率函数（1）产生。利用最先进的混合整数二阶锥编程（MISOCP）求解器，如CPLEX，杜等人。（2011年）成功地将非线性燃料消耗目标f1 重新拟定为受一组二阶锥规划（SOCP）约束的线性目标，并获得了计算上易处理的模型。二阶锥程序是具有线性目标函数和凸二次约束的凸优化问题。线性程序是二阶锥程序的一个特例（参见，例如，Alizadeh和Goldfarb，2003年，关于SOCP的介绍）。他们首先将f1 重新表述为：

他们选择了燃油消耗率参数li e {3.5,4.0,4.5}，并改变了公式1中所示的约束条件。(4) 对SOCP的限制。例如，当li = 4.5 时，在引入新的决策变量和几个计算步骤之后[见Eqs。（23） - （27）in杜等人。（2011年）]，Eq。(4) 可以转化为

因此，将具有燃料消耗优化模型的混合整数非线性BAP转换为MISOCP模型，该模型具有建模精度和计算优势。

1.2. 目标和贡献

本研究的目的是提出一种替代方法，以克服航行速度和燃料消耗率之间的非线性关系所造成的计算困难。特别是，我们提出了两种二次外近似方法，可以更有效地处理一般的燃料消耗率函数。在静态二次外近似方法中，近似线是先验地生成的。在动态二次外近似方法中，近似线是动态生成的。数值实验证明了这两种方法的优点。

2. 二次外近似方法

鉴于方程的特殊结构。(4)，我们可以使用一组SOCP约束来近似它。首先，我们推导出二次外近似函数来近似函数q~ieth;aiTHORN;：

frac14; frac12; THORN; ^1利

a在特定点附近^i 2 ai;-i 用于船舶即V，如图所示图3用i;-i frac14;frac12;20;40]，li = 4_i.237和^i = 30（注意我们假设^i -i 由于后面将变得明显的原因）。二次函数，用Qi a ^i表示;ai ，通过点a ^i;〜i ^i 。因此，它可以表示为

最后，我们寻求kieth;a^iTHORN;使得函数〜ieth;aiTHORN;和Qieth;^i之间的差距;aiTHORN;被最小化。观察到（i）q~ieth;aiTHORN;和Qieth;^i;aiTHORN;取相同的值，在^i处具有相同的一阶导数，（ii）〜ieth;aiTHORN;的二阶导数;leth;l - 1THORN;a^-利-1，是正的和减少的，和（iii）Q的二阶导数ieth;^i;aiTHORN;是常数，我们有两个引理i和i下面描i述的两个命题。引理1和引理2提供了命题的直观解释 1. 命题2是命题1的理论扩展。我们省略了这些引理和命题的证明，因为它们是直截了当的。

引理1.如果Q的二阶导数i^i;ai，即2kieth;^iTHORN;，等于〜ieth;aiTHORN;在^i的二阶导数，即 l_ieth;l_{i i} - 1THORN;^^-利-1，则〜ieth;a_iTHORN;gt; Q_ieth;^i;a_iTHORN;任何a_i 2frac12;_i;a ^iTHORN;和q~ieth;aiTHORN;lt;Qieth;^i;aiTHORN;为任何ai 2eth;^i;alpha;-i。

功能Qieth;^i;aiTHORN;在引理1中带有frac12;ai;-i]frac14;frac12;20;40];l_ifrac14; 4：237和^i frac14;30显示在图。1.

图1.引理1中的二次函数。

图2.引理2中的二次函数。

图3.命题1中的二次函数。

引理2.如果Q的二阶导数ieth;a^i;aiTHORN;，即2kieth;^iTHORN;，等于〜ieth;aiTHORN;在a-i处的二阶导数，即

l_ieth;l_{i i} - 1THORN;-^-利-1，然后〜ieth;aiTHORN;gt; Qieth;a^i;aiTHORN;对于任何ai 2frac12;ai;a ^iTHORN;[eth;a^i;-i。

功能Qieth;^i;aiTHORN;在引理2中带有frac12;ai;-i]frac14;frac12;20;40];l_i= 4：237和^i = 30显示在图2.

命题2.由式（1）定义的kieth;a^iTHORN;的值。(8) 对于二次外逼近函数是最佳的。即，〜ieth;aiTHORN;gt; Qieth;^i;aiTHORN;任何ai 2frac12;ai;^iTHORN;[eth;^

果kieth;^iTHORN;增加一个小值，则〜ieth;a-iTHORN;lt;Qieth;^i;-i个。

作为命题2的结果，我们使用Q^{^}i ^i;ai 用li ^i来表示eth;最佳THORN;二次外逼近函数公式中定义的(7) 和等式（eth;kTHORN;）中定义的ki ^i 。(8).使用Q^{^}ieth; ^i;ai THORN;近似〜i ai ，我们可以eth;代THORN;替Eq。(4) 具有以下约束：

i;-iTHORN;，如

eth; THORN;

eth;9THORN;

式。(9) 可以很容易地转换为每艘船的SOCP约束：

图4.从静态方法获得的二次外近似函数。

表格1

测试例的结果。

52

3. 二次外近似方法具有保证的精度

为了确保近似误差在可容许的水平e内，我们可能需要一个以上的二次外近似函数Q^{^}i ^i;ai ，见例如图4.这可以通过以下两种方法

步骤1：指定允许绝对误差

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