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可能性线性规划和模糊层次分析法相结合求解多目标容量限制的多设施选址问题
Dogan Ozgen, Bahadir Gulsun
关键词：可能性线性规划、模糊层次分析法、供应链网络设计、容量限制的多设施选址问题、多目标编程
摘要：容量限制的多设施选址问题是一个包含定量和定性因素的复杂且不精确的决策问题。在文献中，描述了物流网络的多种不同优化目标：（i）最小化目标，如成本、库存、运输时间、环境影响、财务风险等。（ii）最大化目标，如利润、客户满意度、灵活性和稳健性等。然而，只有少数论文综合考虑了定量和定性因素以及不精确的方法。与传统的基于成本的优化方法不同，这里提出的方法在考虑各种观点的同时评估了这些因素。决策者必须将这两个因素结合起来，以模拟现实世界复杂的应用结构。在本文中，两阶段可能线性规划方法和模糊层次分析方法相结合，优化了模糊情况下包含四个阶段（供应商、工厂、配送中心、客户）的供应链网络的两个目标函数（“最小成本”和“最大定性因素优势”）。通过案例说明了该方法的结果，并在结论中讨论了该方法的优点。
1.引言
今天全球化的市场竞争和较高的客户期望使得企业更加谨慎地考虑其供应链（SC）。供应链决策是影响链中每个成员的重要战略决策，因为这些成员执行的各种功能相互整合，这些功能包括市场营销、分销、计划、制造和采购。
SC网络中有容量限制的多设施选址问题是针对整个供应链长期有效运行进行优化的最全面的战略决策问题之一。此问题主要包含了供应链中的工厂、仓库和配送中心的数量、位置、容量以及类型的确定方法等内容，它还建立了分销渠道以及从供应商到客户消费、生产和运输的材料和物品的数量[1]。
位置-分配决策涉及大量资本投资，并对货物的生产和分配产生长期限制，这些问题很复杂，与大多数现实问题一样，取决于一些有形的问题以及每个问题所特有的无形因素。这些系统的复杂性源于大量的定量和定性因素，这些因素影响选址且在这些因素之间进行权衡很困难[5]。除了这种复杂性之外，全球性的SC管理很困难，因为SC中不同层次的不同实体之间存在多种不确定和复杂的相互关系，因此，同时确定供应链配置和SC总成本是非常困难的。运输成本和建设成本快速变化，设施容量和客户需求也是SC参数的一部分，但是由于环境的不精确而难以准确预测。
从单一的产品类型到复杂的多产品系统，文献中已经对供应链网络(SCN)设计问题进行了研究，建立的选址模型从线性确定性模型到复杂的非线性随机模型。目标函数的数量取决于问题的复杂程度，通常，这些问题涉及多个冲突的目标，例如成本、服务水平和资源利用。为了处理多个目标并使决策者能够评估更多可替代解决方案，采用了不同的供应链层次或阶段以及各种解决办法，根据所考虑的供应链网络问题的组成，确定供应链网络设计水平。
Vercellis[40]为多工厂制造系统提出了一个受容量限制的主生产计划和容量分配问题，而且每个工厂有两个连续阶段。该问题的目标是最小化各种成本因素的总和，即第1和第2阶段的生产成本、库存成本、缺货成本、运输成本和加班费用，建立混合{0,1}线性规划模型并通过基于LP的启发式算法求解。
Zhou和Liu[47]提出了一个数学模型和一个有效的程序，用于解决涉及多个不同容量仓库的双标准分配问题，他们还考虑了仓库分配问题的两个冲突目标，运输时间和运输成本。使用遗传算法来求解模型，该算法旨在短时间内找到该问题的帕累托最优解。Romeijn等人[32]考虑了传统的确定性单一DC和多零售商（SDMR）模型，他们试图将选址、运输成本和二级库存成本降到最低。他们还提出了一个额外的费用术语，表示与安全储存或能力问题有关的费用，他们将问题表述为集合覆盖模型。
Cakravastia等[9]旨在在设计供应链网络时为供应商选择过程建立一个分析模型。供应链的目标是最小化客户不满意程度，不满意程度通过两个绩效标准评估：（i）价格和（ii）交货时间，模型在两个决策层面运作：运营层面和连锁层面，可以使用混合整数编程方法求出模型的最优解。Syam[36]通过在多商品、多地点框架中引入多种物流成本（如持有、订购和运输成本）来扩展传统的设施选址模型。他的论文提供了一个综合模型，并在一个多商品、多地点的框架中引入几个物流成本组成部分，如持有、订购和运输成本。分别基于拉格朗日松弛和模拟退火的两种复杂的启发式方法，在广泛的计算实验中进行了比较。Yan等人[43]在考虑物料清单（BOM）的情况下，提出了供应链设计的生产-分配模型。逻辑约束用于表示BOM以及供应链的主要实体（如供应商、生产商和配送中心）之间的关联关系。此外，这些关系在混合整数规划（MIP）模型中被制定为逻辑约束，从而在供应链战略设计中抓住BOM在供应商选择中的作用。供应链的总成本包括采购成本、生产成本、运输和配送成本，以及固定成本。Chen和Lee[11]提出了一个多产品，多阶段，多周期的调度模型，以处理具有不确定性的市场需求和产品价格的多级供应链网络的多个互相冲突的目标。供应链调度模型被构建为混合整数非线性规划问题，以满足几个冲突目标，包括所有参与者之间的公平分配，安全的库存水平，最大客户服务水平以及对不确定产品需求决策的稳健性。针对该问题，提出了一种两阶段模糊决策方法。
Amiri[3]建立了一个混合整数规划模型，并提出了一个基于拉格朗日的解决方案。该模型最大限度地降低了总成本，包括为仓库客户提供服务的费用、从工厂运送到仓库的费用以及与开设和经营仓库和工厂有关的费用。Yilmaz和Ccedil;atay[44]解决了一个三阶段生产配送网络的战略规划问题，该问题由一个具有确定性需求的多供应商、多生产者和多经销商生产分销网络组成。目标是尽量减少与生产、运输和库存有关的费用以及在特定时间范围内扩大能力的费用。该问题被公式化为0-1混合整数规划模型，基于松弛的有效启发式算法被认为是一种很好的可行解决方案。Tsiakis和Papageorgiou[39]提出了一种混合整数线性规划（MILP）模型，以帮助运营管理层对生产分配、现场生产能力、原材料采购、网络建设等进行决策，同时考虑到财务方面（汇率，关税等）和成本。目标函数包括固定的基础设施成本，生产成本、配送中心的材料处理成本、运输成本和关税。
Pirkul和Jayaraman[30]给出了该模型的拉格朗日松弛，并提出了一种启发式求解方法，利用该松弛所提供的信息生成良好的可行解。他们的模型最大限度地降低了从开放式仓库向客户分销产品的成本总和，将不同的商品单元从工厂运输到仓库的成本，以及工厂和仓库的固定成本。
Jayaraman和Pirkul[18]研究了多级环境下生产配送设施选址的集成物流模型。目标函数最大限度地降低了供应链的总成本，包括运营以及开设工厂和仓库的固定成本，生产和分销的可变成本，从供应商到工厂的原材料运输成本以及通过仓库将产品从工厂运到客户网点的成本。建立了混合整数规划模型，并将拉格朗日松弛方法应用于所得模型。
Syarif等[37]考虑一个由0-1混合整数线性规划模型构造的物流链网络问题，这个问题涉及开放设施的选择和以最低成本满足需求的配电网设计。为了解决这个问题，使用了Pruuml;fer数表示的基于生成树的遗传算法，并与传统的基于矩阵的遗传算法和LINDO专业软件包的结果进行了比较。
Braun等[8]首先描述了一个六节点网络和一个基于模型预测控制（MPC）的管理策略。MPC控制器的目标函数包括三部分：受惩罚的预测设定点跟踪误差，操纵变量的前向移动，以及被操纵变量与目标值的偏差，该优化问题可以用标准二次规划(QP)算法求解。Melo等[27]提出了一种数学建模框架，该框架涵盖了供应链的动态规划范围、供应链网络结构、外部物资供应、货物库存机会、商品分配、设施配置、可供投资的资金和存储限制等许多实际方面。同时提出了一种求解动态重定位问题的混合整数线性规划模型(MILP)。Altiparmak等[1]考虑了三个目标：（1）最小化总成本，包括工厂和配送中心的固定成本以及配送成本；（2）最大限度地利用可接受的交付时间向客户提供客户服务；（3）最大化配送中心的产能平衡。他们采用一种新的基于遗传算法的求解方法，对多目标SCN设计问题和一组Pareto最优解进行求解。
近年来，为解决供应链网络问题，许多人将模糊理论引入设施选址和设计中。Zhou等[48]提出了三种模糊规划模型来模拟具有模糊需求的受容量限制的选址及容量分配的问题。Kahraman等[19]运用模糊理论对不同地点间的设施选址进行了研究。Bilgen[7]提出了一个由多个制造商、多条生产线和多个配送中心组成的模糊模型，用于消费品行业。Liang[26]提出了一种用于求解模糊环境中多目标综合生产运输问题的交互式模糊多目标线性规划(F-MOLP)模型。Roghanian等[31]考虑了“概率双水平线性多目标规划问题”及其在企业供应链规划问题中的应用。Sakawa等[34]考虑到决策者判断的模糊性，将模糊目标引入到模糊随机双层线性规划中。Selim和Ozkarahan[35]开发了供应链分销网络设计的交互式模糊目标程序。Chen和Chang[13]提出了一种基于模糊参数的多产品、多级、多周期供应链中模糊最小总成本隶属函数的推导方法。Ghatee和Hashemi[15]研究了供应链网络中多目标最小成本流问题中的模糊量关系。Torabi和Hassini[38]提出了一种新的多目标可能性混合整数规划模型(MOPMILP)，综合考虑采购、生产和配送计划等目标，同时考虑某些关键参数的不精确性质，如市场需求、成本/时间系数和容量水平。
根据上述文献，很少有研究者将定性因素纳入多目标问题。虽然已经使用了一些有效的技术和模型来设计最佳的供应链网络和优化各种目标，但很少有人将模糊性和不精确性纳入选址问题。本文提出了一种综合考虑定性和定量因素的可能性线性规划和模糊层次分析法，本文研究的主要目的是对决策者和供应链管理者面临的不确定性问题进行建模，并采用多目标线性规划技术来解决这一问题。运用模糊理论对供应链各节点之间的运输成本、设备的维护成本以及层次分析法中的专家意见进行研究。因此，可能性线性规划(PLP)被提出来解决这个问题，因为它是一种考虑现实世界的模糊性的有效的方法[28]。另外，可以使用双层编程来描述存在层次结构的决策情况的模型。双层规划模型由两个子模型组成，分别由上层模型和下层模型构成。
本文的其余部分安排如下：在第二节中，给出了可能性线性规划和模糊层次分析法的理论背景。在第三节中，定义了问题的假设和数学模型。在第四节中，在第二节讨论的基础上，该模型被定义成一个清晰的模型。第五节举例说明了该方法，本节还讨论了结果。最后，第六节对研究的内容进行了总结。
2. 可能性线性规划和模糊AHP方法
2.1 两阶段可能性线性规划
在本研究中，使用了两阶段多目标可能线性规划（MOPLP）方法。下面解释两个阶段的理论背景。
2.1.1 阶段1
两阶段方法的第一阶段涉及定义可能性系数并构造其三角形分布函数。在可能性规划中，用概率分布表示模糊数据。一个可能性分布是由一个模糊集来表示的，其中表示一个语言表达式，如lsquo;近似rsquo;为，其中是的成员函数，受概率分布限制的变量称为可能性变量[17]。Zadeh[45]提出了广义约束的概念，经典的约束将不确定性情形称为可能性约束、概率约束。在可能性规划方法中，模糊期望用模糊目标表示。具有不精确模糊系数的可能性线性规划问题可以描述为：
（1）
其中，对于所有的，都是不精确的模糊系数函数，并且具有三角形的可能性分布。尽管可以选择各种分布，但在求解可能的数学规划问题时，最常用的是三角形分布和梯形分布。在本研究中，只使用三角模糊数，因为这样做更简单。由于现实世界的问题通常涉及不确定的数据，决策者应该解决这种不精确的环境。因此，决策者估计的可能性分布可以更简单地用三角模糊数来描述。最可能的值是（可能性=1，如果归一化）；（最悲观的值）；（最乐观的值）是至少可能的价值。可能性分布（）可以表示事件发生的可能性程度[22]。
具有三角形可能性分布的不精确目标函数可写为：
（2）
求解方程（2）的辅助MOLP问题可以表述如下[25]：
（3）
使用Zimmermann[49]开发的模糊集的概念可以解决多目标规划问题：
（4）
目标的成员函数定义为
（5）
其中是正负理想解决方案。通过lsquo;max-minrsquo;运算符和饱和度，MOLP问题可以转变为单目标问题。
（6）
方程(6)最大的缺点是lsquo;max-minrsquo;算子所得到的结果代表了最坏的情况，并且不能被其他具有较好结果的成员补偿。显然，需要使用补偿算子来获得折中解[24]资料编号：[5654]
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