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易变质物品的价格敏感需求-一种EOQ模型
摘要：本文开发了一个有限的时间间隔的确定性EOQ（经济订货批量）模型，其中需求率以销售价格二次方减少。价格在不同期间被视为决策变量。目的是找到最优的数量和最优销售价格，使供应商的总利润最大化。结果与数值实例讨论。最优解的灵敏度分析对系统的关键参数进行了评估。
关键词：库存、价格敏感的需求、变质、EOQ、有限范围
1、引言
商品的售价对于吸引商业组织中的消费者具有重要作用。一般来说，无论价格如何，客户在商品质量和寿命的基础上支付商品的公平价格。 以前的EOQ（经济订货批量）模型展示了两种类型的需求函数。一种类型是价格线性递减的函数。另一种类型是价格的负效用。1955年，Whitin [1]纳入了库存理论和经济价格理论的概念。此后，其他几位作者[2-5]调查了考虑经济订货批量和定价策略之间相互作用的库存模型。在这个方向上，Abad [6]在物品易变质和部分回购的条件下建立了最优定价和批量EOQ策略。 Urban和Baker [7]推广了EOQ模型，其中需求是价格，时间和库存水平的多元函数。 Abad [8]将最优定价和批量化EOQ模型扩展到经济生产批量模型。Datta和Paul [9]分析了一个多期EOQ模型，它具有股票依赖性和价格敏感的需求率。Arcelus et al[10]通过假设临时折扣推广了特殊销售问题。他们还纳入了其他实际问题，最值得注意的是依赖于价格的需求，以及微观经济理论的当前原则。Papachristos和Skouri [11]通过数量折扣，定价和部分回调扩展了EOQ模型，以使需求率成为销售价格的凸下降函数。 Abad [12]讨论了一个恶化项目的定价和批量问题，假设有限生产率，指数衰减和部分积压和销售失败。当需求率取决于库存显示和销售价格时，Teng和Chang [13]开发了一个用于易变质物品的EPQ（经济生产批量）模型。最后，Teng et al。 [14]通过增加短缺成本和客户失去的商誉的成本扩展了Abad[12]的模型。他们还比较Abad[12]的模型和Goyal与Giri[15]的模型。
许多研究人员已经研究了用于易变质物品（如血液，鱼，草莓，酒精，汽油，医药，化学和食品谷物和纺织品等）的库存模型。关于易变质库存的文献有很多，其细节可以在Nahamias[16]和Goyal与Giri [17]的评论文章。 Goyal和Giri [15]研究了一个类似的生产库存问题，当一个产品的需求，假定生产和变质率随时间变化。Khanra和Chaudhuri [18]开发了易变质物品的EOQ模型，将需求函数视为与时间相关的二次函数。 Yu et al[19]为质量不完善和部分退货的易变质物品开发了一个生产库存模型。Ghosh和Chaudhuri[20]研究了一个有限时间范围内的EOQ模型，用于一个二次时间相关需求的易变质物品，允许库存短缺。 Jolai et al[21]提出了一个优化框架，用于在具有库存依赖需求率的项目的固定计划期间导出最优生产。
在通货膨胀的条件下，他们假定一个易变质的物品遵循一个双参数威布尔分布，允许短期和固定利率的部分积压。最近，Sana [22]在无限时间范围内，需求是对价格敏感，考虑部分回购和时间相关的变质率。Sana [23]建立了一个多物品的EOQ模型制定了用于易变质物品的EOQ模型，而，用于改善和恶化存储能力约束的项目，假设需求率是企业活动的函数。
在提出的模型中，作者在有限时间范围内开发了单一物品的EOQ模型，其中需求是价格的二次递减函数。作者将时间范围划分为n个相等的周期，n个不同的价格作为决策变量。然后，已制定的利润函数已被最大化分析。
2.基本假设和符号
以下假设和符号用于开发模型：
假设：
1.模型是针对单件物品的开发。
2.时间范围是有限的，每个周期的长度是相等的。
3.考虑到变质。
4.不允许短租。
5.不同周期的销售价格被视为决策变量。
符号：
Q - 初始批量。
L - 规划范围。
n - 周期数/价格变动周期。
T - 每个周期的长度，T =。
j - 周期索引，j表示时间间隔[(j-1)T,jT].
pj - 作为决策变量的销售价格。
D（pj）-与pj二次变化的需求率。
Ij（t）- 第j个周期，t时刻的现有库存。
qj- 第j周期开始时的库存水平。
-n组向量（p1，p2，...，p）。
n-单位的n组向量，即In =（1,1，...n项）。
* - 相应变量的最优值。
Ch - 每单位时间库存持有成本。
Cp - 每单位物品的采购产品。
theta; - 变质率（0lt;theta;lt;1），即现有库存的一小部分。
K - 定价设定成本。 此费用包括重置价格标签。
- 模型的建立
3.1模型I：当需求率是销售价格的二次函数
我们在这里开发一个单一物品的EOQ（经济订货批量）模型，其中需求量D（pj）（j = 1,2，...，n）关于价格pj（j = 1,2，...，n）二次递减，即
在这里，借助于以前收集市场调查数据，alpha;、beta;和gamma;适合于二次曲线拟合方法。假设一个企业在季节开始的时候以有限的水平（L）购买季节性商品Q单位。 企业在这里将时间范围划分为n个相等的周期，即每个周期的长度为T =。我们认为企业有自由地改变销售价格，提高或者降低销售价格，在第j个时期价格为pj（j = 1， 2，...，n）。 周期j（j = 1,2，...，n）的控制微分方程为
满足条件Ij(0) = qj。
这里，qj（j = 1,2，...，n）是第j周期开始时的库存水平（j = 1,2，...，n）。 从等式 （2），我们有
现在，Ij-1(T)=Ij(0),即第（j-1）个周期结束时的库存水平等于第j个周期开始的库存水平，给出
这里，q1 = Q =初始批量。使用它，我们有
，令
同时
同样，通过归纳法，我们有
再次，在In（T）= 0，即库存在第n个周期结束时达到零，给我们
使用上述方程式 （5），令j = n，我们得到
因此，通过归纳法，我们有
（6）
第j个周期的存货成本为
因此，n个周期的总库存持有成本为
使用等式(6)
简化后，以上简化为
n个周期的总销售收入是
总利润，其中=(P1,P2，.....Pn）是n组价格向量，是
引理1.如果成立，pi;(n,)在n=n*处可以取到最大值。
证明. 现在
同样，
对于pi;(n,)的最大值，必须满足pi;(n-1,)le;pi;(n,)ge;pi;(n 1,)，即
在
因此，如果，pi;(n,)在n=n*处有最大值可以得到满足。所以得到证明。
引理2.对于不变的n，如果，存在解决方案*在区间(Cp,infin;)满足＜0，然后pi;(n,)可以在*处取得最大值。
证明.保持n不变，不同的pi;(P1,P2，.....Pn）相对于Pj,可以得到
对于ine;j
同时
现在，=0意味着
这里
同时
因此对于不变的n，如果，存在解决方案*在区间(Cp,infin;)满足＜0，然后pi;(n,)可以在*处取得最大值。所以得到证明。
引理3.如果， 存在解决方案*在区间(Cp,infin;)满足那么pi;(P1)可以在P1*处取得最大值。
证明.当n=1时，那么我们可以得到如下结论：
同时
现在，=0意味着
在这个公式中
同时
因此，如果， 存在解决方案*在区间(Cp,infin;)满足那么pi;(P1)可以在P1*处取得最大值，在这里可以得到证明。
3.2.模型2:当需求率是销售价格的负幂函数
如果需求率是销售价格的负幂函数，即在和那么从等式 （3）和（4）我们有
分别的。现在q1=Q=初始批量给我们
并通过归纳法，我们有
销售收入是
第j个周期的存货成本为
因此，总成本是
现在，In(T)=0意味着
，利用公式(14)
利用这些，我们得到
因此，总利润是
引理4.对于确定的n和函数pi;(P1,P2，.....Pn）具有总体最大值当Pj*(j=2,3,...,n)=
如果
证明.保持n不变，pi;(n,)相对于Pj(j=2,3,...,n)微积分，我们可以得到
同时
在这里，=0意味着
对于Pj的正值，一定为负，同时，即同时，函数pi;(P1,P2，.....Pn）具有总体最大值当Pj*(j=2,3,...,n)=
，如果同时
可以得到证明。
引理5.如果，pi;(n,)在n=n*处可以取到最大值
证明.当Pj(j=2,3,...,n)是固定不变的，那么我们可以得到
因此，意味着在这个公式中
同样的，意味着，因此如果，pi;(n,)在n=n*处可以取到最大值可以得到证明。
引理6.如果和得到满足，函数pi;(P1)在处取得最大值且。
证明.当n=1时，那么
同时
因此意味着
因此，如果和得到满足，函数pi;(P1)在处取得最大值且可以得到证明。
4.数值案例
示例1.适当单位的参数值如下所示：，
然后所需的最优解是（见表1）
表格1
数值示例1的最优解。
表2
数值实例2的最优解。
示例2.适当单位的参数值如下所示：那么所需的更好的最优解是（见表2）
示例3.模型2的参数值以适当的单位表示如下：
那么，所需的更好的最优解是（见表3），
示例1-3的图（图1-3）显示示例1-3中给出的最佳解是全局最优（最大）
解。
5.敏感性分析讨论
从表4和表5可以看出，示例1和3的灵敏度分析结果如下：
图1.示例1的总利润与周期长度
总利润
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