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应急服务设施在不确定环境中的选址问题
Bo Zhanga, Jin Peng b,lowast;, Shengguo Li b
a School of Statistics and Mathematics, Zhongnan University of Economics and Law, Wuhan 430073, China
b Institute of Uncertain Systems, Huanggang Normal University, Huanggang 438000, China
摘要：在实际的网络定位问题中，任意一对网格与顶点的需求之间的响应时间通常是不确定的。本文运用不确定性理论来解决应急服务设施在不确定性条件下的选址问题。首先对不确定环境下的位置集覆盖问题进行建模，称为不确定位置集覆盖模型。利用逆不确定性分布，将不确定的位置集覆盖模型转化为等价的确定性选址模型。基于这种等价关系，可以求解不确定的位置集覆盖模型。其次，本文研究了不确定环境下的最大覆盖选址问题。本文首先研究了与覆盖约束置信相关的覆盖需求的不确定性分布alpha;水平。此外，我们模型的最大覆盖选址问题在一个不确定的环境使用不同的建模思想，即(alpha;,beta;)最大覆盖选址模型和alpha;-chance最大覆盖选址模型。证明了(alpha;,beta;)最大覆盖选址模型可转化为等价的确定性选址的模型，从而求解该模型。并指出(alpha;,beta;)最大覆盖选址模型与 alpha;-chance 最大覆盖选址模型存在等价关系，从而提出了一种求解 alpha;-chance 最大最小覆盖选址模型的方法。最后，通过一个实例说明了不确定模型的思想。
关键词：不确定性建模；选址；整数规划；不确定性理论；不确定性规划
1 介绍
设施选址作为一种重要的服务设施选址方法，在现实生活中得到了广泛的应用，如应急服务系统的选址。近几十年来，许多研究者对设施选址问题进行了研究[5，13，16]。在紧急事件，如恐怖袭击(举例来说，9月11日的事件)，重大自然灾害(如飓风)，或者常见的紧急情况(如火灾和常规卫生保健需求)，影响区域的居民需要尽快转移到安全地点，导致突然和巨大的紧急服务的要求。消防部门和救护系统等紧急服务提供者必须提供高水平的服务，以确保公众安全。这些服务通常由固定地点的车辆提供。应急服务设施选址问题是应急管理的重要组成部分，它试图确定设施的最佳选址，从而使服务水平的目标得到优化。
为了确定网络上设施的最佳位置，针对不同的情况定义了几个不同的模型。其中一类模型是集合覆盖模型，集合覆盖模型是应急设施选址问题最常用的选址模型。这种类型的第一个模型是处理覆盖位置集问题(LSCP)的模型，其目的是确定覆盖所有需求顶点所需的服务设施的最小数量。自被Toregas等人[27]引入以来，LSCP已经成为位置问题研究的热点。应急设施集合覆盖模型的另一个重要扩展通常被称为最大覆盖选址的问题(maximal cover location problem， MCLP)，最早由Church和ReVelle[6]提出。在一个标准的MCLP中，一个人在一个网络中寻找许多设施的位置，以使覆盖的需求最大化。ReVelle等人将启发式集中用于具有高覆盖率的MCLP的大实例问题。Zarandi等人提出了一种自定义遗传算法来求解最多2500个顶点的MCLP实例。Yin和Mu[33]提出了一个模块化的容量最大覆盖选址问题，以考虑到每个潜在站点的设施的几个可能的容量级别。
在文献中，LSCP和MCLP都是在一个确定性的框架下研究的，在这个框架中，参数被假定为正的脆值性。我们知道，紧急情况的高度不可预测的性质可能导致需求和反应时间方面的不确定性。一些研究人员认为这种不确定性表现为随机性。基于这种假设，概率论已经被引入应急服务覆盖模型，以捕捉这些问题的不确定性。Daskin[7]提出了在网络上放置P个设施的最大期望覆盖选址问题，目标是需求覆盖的期望值最大化。Berman et al.[4]研究了随机需求网络中逐步覆盖选址的问题。近年来，Batta et al.[1]、Jia et al.[15]、Toro-Diaz et al.[28]等将许多模型扩展到其他应急服务定位问题。关于不确定环境中位置问题的进一步研究，我们参考了Beraldi和Bruni [3]， Wei et al.[31]， Du et al.[9]。
不可否认，概率论是处理随机因素的有用工具。然而，应用概率论的一个基本前提是我们应该通过统计得到一个足够接近真实频率的概率分布。在紧急情况下，我们经常缺乏观测数据。通常，我们别无选择，只能邀请一些领域专家来评估每个事件将发生的置信度。Liu[23]指出，如果我们用概率论来处置信度，这可能会导致违反直觉的结果，我们如何处理置信度呢？为了对这种人类不确定性进行建模，Liu[19]建立了不确定性理论，随后许多学者对其进行了研究。到目前为止，不确定性理论已经成为人类不确定性建模的公理数学的一个分支。本文针对这种不确定性，研究了应急服务设施的选址问题。
不确定性规划作为一种涉及不确定变量的数学规划，最早是由Liu[21]在2009年提出的。此后，不确定性规划在工程、管理和设计中得到了广泛的应用。例如，Gao[10]研究了不确定性网络中的最短路径问题。Zhang和Peng[35]研究了不确定性环境下的中国邮差问题，根据不同的建模思路提出了三种模型。Sheng和Yao[26]提出了一个不确定性运输模型，其中成本、供给和需求被假设为不确定变量。此外，还将不确定性规划应用于投资组合选择[2]、项目调度问题[37]、价格歧视问题[29]、分配问题[36]、报童问题[8]、资本预算问题[17]。其中，Gao[11]提出了顶点和整个网络的满意度的概念，并针对单个设施选址问题引入了两个不确定性规划模型。Zhou等人针对消防站选址问题提出了多目标不确定性模型。Wang和Yang[30]研究了不确定性环境下逆向物流的分层设施选址问题。Wen等人研究了一个以运输总成本最小为目标的设施选址分配问题。Huang和Di[14]描述了不确定变量对客户位置的估计，并研究了不确定环境下的设施选址问题。Gao和Qin[12]将出行时间作为不确定变量，研究了一个枢纽位置问题，提出了一个机会约束规划模型。
设施选址问题和资源调度问题是应急响应网络的两个重要组成部分。Li .[18]等人最近在不确定性理论的框架下研究了突发事件中医疗物资的调度问题。在本文中，我们将考虑在不确定环境下应急服务设施的选址问题。由于紧急情况和事故的严重程度都具有高度不可预测的性质，因此不能准确地知道响应时间和需求，但可以将其视为不确定的变量。基于这些假设，我们提出在建模问题中使用不确定性规划。本文对文献做出了以下重要贡献。我们对不确定环境下的LSCP和MCLP进行了建模。三种不确定位置模型，即不确定的位置集合覆盖模型(alpha;，beta;)最大覆盖选址模型和alpha;-chance最大覆盖选址模型，使用不同的标准制定。在不确定性理论的框架下，讨论了模型的等价性。
本文的其余部分组织如下。第二节研究了不确定环境下的位置集覆盖问题，讨论了等效确定性位置模型。在第三节中，提出了两种不确定的最大覆盖选址模型，讨论了总覆盖需求的分布函数。研究了不确定模型的性质，给出了相应的求解算法。第四部分从两个方面阐述了本文的主要创新之处。一方面，通过比较三个模型之间的建模思想，突出了每个模型的优点。另一方面，阐述了不确定性理论框架下现有工作与提出的工作的主要区别。在第5节中，给出了一个案例研究来展示模型的性能。第6节对本文进行了简要的总结。最后，为了更好地理解本文，附录中给出了不确定性理论的一些基本概念和结果。
2 不确定位置集覆盖问题(ULSCP)
设N = (V,A)，其中V ={1,2,hellip;,n}为顶点集，A为边集。假设网络N = (V,A)的每个顶点i都是一个设施可以定位的潜在位置，i = 1，2，hellip;，n。本节首先考虑具有不确定参数的网络上覆盖问题的位置集，如下所示。
图 1 LSCP在网络N = (V,A;t)上有7个需求顶点的位置平面图
LSCP首先由Toregas等人[27]提出。LSCP的目标是确定分配给需求顶点的最小设施数量，以便在最大响应时间内满足所有需求。令tij表示顶点i到j的响应时间，我们可以将响应时间为N = (V,A;t)的网络表示为，其中t = {tij}。在经典的确定性定位问题中，响应时间tij假设为正的脆性值。为了简化本文的问题，当i=j时，我们忽略响应时间tij，将tij认为是零。如果最大响应时间T已经确定，对于任何顶点i，只有T内的顶点集i可以提供紧急服务，表示这些顶点的集合Si = { j | tijle;T }。图1为网络N = (V, A;t)上有7个需求顶点的位置平面图。我们只需要找到顶点2 ，5和7的位置;然后，任何顶点都可以被至少一个设备服务。接下来，我们将关注不确定环境下的LSCP，简称ULSCP。
实际上，紧急情况的高度不可预测的性质可能导致反应时间的不确定性。为了建立不确定性模型，概率论、模糊集理论和不确定性理论相继出现。众所周知，概率论只适用于频率建模。当我们使用概率来建立模型时，需要大量的历史数据。如果样本足够大，我们可以得到一个估计的概率分布，它可能足够接近真实的累积频率。然后，我们可以用概率论来处理这种不确定性。当没有观测到每对顶点的响应时间数据时，我们需要邀请领域专家对响应时间的置信度进行评估。因此，将置信度作为概率分布是不合适的。那么，我们如何处理置信度呢？一些学者可能会说，他们可以使用模糊集理论来建模这种主观不确定性。这是真的吗？让我们考虑一个反例。如果响应时间被视为模糊变量xi;，然后我们有一个隶属函数来描述它。假设这个变量是一个梯形模糊变量(3,5,9,11)，即
根据可能性量的定义
我们可以推断
Pos{“响应时间”= 7}= 1，
Pos{“响应时间”ne;7}= 1。
因此，我们可以立即得到以下两个结果:(1)响应时间为“恰好7小时”，可能性量为1;(2)“恰好7小时”与“非7小时”的可能性相同。结果(1)表明我们100%确定响应时间为“恰好7小时”，既不少于也不多于7小时。然而这一点很难接受，因为“恰好7小时”的置信度几乎为零。结果(2)表明，响应时间恰好为7小时与非7小时的概率量相同。您认为是这样吗？让我们来假设一种情况:如果响应时间“非7小时”，您将支付100美元;如果响应时间“恰好是7小时”，您将获得100美元。似乎没有人会认为这个赌注是公平的。因此，结果(2)是不可接受的。也许有些学者会说，他们可以在模糊集理论中使用一些其他的度量方法。然而，众所周知，隶属度mu;(x)是基于可能性度量，定义xi;包含x点。
以上讨论表明，响应时间等不确定量不能作为模糊变量。基于此，Liu[19]建立了不确定性理论来对这类不确定量进行建模。关于模糊集理论和不确定性理论之间的区别，我们建议读者参考参考Liu[24]。
在本文中，我们使用不确定变量来描述响应时间。设xi;ij为非负不确定变量，表示从顶点i到顶点j的响应时间i,j = 1,2,. . ., n。然后将响应时间不确定的应急网络表示为N = (V, A; xi;)，式中 xi; = {xi;ij|i isin; V,j isin; <em
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