参数未知时可变抽样区间控制图对冷链物流过程控制外文翻译资料

英语原文共 16 页

The Variable Sampling Interval Chart with Estimated Parameters

YingZhang, Philippe Castagliola, Zhang Wud and Michael B.C.Khooe

摘要：诸多学者对在参数已知的情况下VSI 控制图进行过了研究，然而在实际的操作过程中很难通过过往数据对控制图参数进行设计与估计。 本文中，我们计算并比较了VSI 控制图的平均报警时间，并且针对参数未知的情况进行了分析。我们也提供了一个新的常数，可以很好地应用于本控制图的阶段1.

Copyright copy; 2011 John Wiley amp; Sons, Ltd.

关键词: 控制图; 可变抽样区间;参数估计; 报警时间

1.简介

统计过程控制（SPC）是提高生产过程质量和生产率的有效方法。自休哈特博士首先开发出控制图来监控过程平均值（1924年）以来，控制图是最重要的主要工具。 SPC已被广泛用于监测和确定生产过程是否在控制之中，目的是检测可能原因并将失控过程带回到控制中。 Shewhart 控制图已被广泛采用，具有易于实现的优点。它在检测过程均值的大变化方面具有良好的性能;但是，检测小型和中等漂移可能需要更长的时间。克服此问题的经典替代方案包括使用更高级的控制图，例如补充运行规则图，合成图，累积和（CUSUM）控制图或指数加权移动平均值（EWMA）控制图和/或使用适应性策略，如可变采样间隔（VSI）图和可变样本大小（VSS）图。

传统上来讲，Shewhart 控制图通过在连续样本之间以固定时间间隔h获得固定大小n的样本来监视过程，而不管过程的情况如何。一旦样本统计量超出图的控制限，图就表明该过程失控，应该停止并修复。该方法称为固定采样间隔（FSI）方案。 FSI控制图的优点是其实现简单。然而，由于对过程变化的响应缓慢，这种方法不能适应对于当今的制造环境。为了更有效地利用检测能力来实现更好的过程控制，过去十年来人们一直关注自适应控制图。当控制图中的至少一个参数（样本大小n，采样间隔h和控制限系数K）被允许在过程控制中根据从过程观察到的内容而改变时，控制图被认为是自适应的。 Tagaras[1]提供了一份关于自适应图设计发展的非常全面的调查。它涵盖了各种具有VSS，采样间隔和控制极限系数以及不同的组合的自适应图。

VSI控制图已经有了广泛的发展，它改变了采样间隔h，作为先前样本结果的函数。 VSI图使用控制和警告限将图划分为三个区域：安全区域，警告区域和失控区域。如果采样点落在警告区域中，则可以合理地怀疑该过程可能已经转变为失控状态，并且直到下一个采样点的时间间隔应取较小值，以便收紧控制。另一方面，如果采样点落在安全区域，则下一个采样间隔应该很长，因为没有证据表明该过程需要调整。如果采样点落入失控区域，则由于存在可分配的原因，该过程可能失控。因此，自适应规则的采样间隔需要引入两个极限系数，一个警告极限系数（用W表示）和一个控制极限系数（用K表示）。

先前的研究表明，在给定误报率和采样成本的情况下，具有两个采样间隔的控制图比标准的Shewhart 控制图在检测小规模和中等规模变化方面具有显着更好的性能，参见Reynolds[2]等人。 Reynolds＆Arnold[3]证明了两个采样间隔的最优性;当样本之间的时间变化时,它们导出了最佳单侧休哈特控制图的表达式。 Runger和Pignatiello[4]也提出了VSI 休哈特控制图的单侧控制限，并表明改进后检测过程平均值时优于双侧VSI 休哈特 控制图。此外，Runger和Montgomery[5]研究了稳态性能的VSI策略。 Amin和Miller[6]在非正态过程分布的情况下研究了VSI型图的性能。 Chengalur[7]等人考虑了具有可变采样级别的多参数休哈特图，并证明它比FSI控制图更有效。 Aparisi和Haro[8]根据Hotelling的统计数据考虑了VSI多变量休哈特控制图。此外，Reynolds[9]对VSI概念进行了修改，称为VSIs，即在固定时间（VSIFT）上进行采样的控制图，这可能更接近于过程的自然周期，并且在实践中相对容易设置和实施。然后，VSI概念也在添加运行规则的，CUSUM图和EWMA图等方面带来明显的好处。 Cui和Reynolds[10]用VSI策略研究了运行规则对图属性的影响。在他们的研究中，控制图不仅表示超出控制限的样本统计数据，而且还指示在特定区域中以特定长度运行。它提供了比没有运行规则的VSI 休哈特控制图更好的性能。 Reynolds等人提出了带有VSI的CUSUM控制图来监控过程平均值的变化。他们的论文表明，VSI CUSUM控制图比VSI Shewhart 控制图或FSI CUSUM控制图更加高效，适用于过程平均值的小和中等偏移。 Shamma[12]等人提出了一种采用VSI的双EWMA控制法则。 Saccucci[13]等人评估了双边VSI EWMA图信号特性的平均时间，并提供了有用的设计程序。 Reynolds[9]将VSIFT特征应用于EWMA图。最近，Castagliola[14]等人研究了VSI R EWMA控制图的统计性能，该图用于监测从正态分布的群体中提取的样本的极差。此外，Castagliola[15]等人提出了一种用于监测过程变化的VSI EWMA控制图。

在许多论文中也研究了VSS 图的特性。其中，我们可以引用Prabhu[16]等人和Costa[17]的杰出成果。他们还提出了一种针对图的组合自适应策略，其中样本大小和采样间隔基于当前样本而变化的（VSSI）（参见Prabhu [18]，Costa[19],[20]）。但是，VSSI图显着增加了实际操作管理上的复杂性，此外，在许多研究中发现（例如Rendtel[21]），VSS和VSI图具有VSSI图的大部分优点，所以对于VSS和VSI控制图的研究显得更加重要。控制图的开发必不可少的假设是假设过程参数已知。实际上，我们很少知道数据和过程参数的分布，并且通常从控制中的历史数据集（阶段I）估计过程参数。当估计参数时，由于在阶段I期间使用的估计量的可变性，控制图的性能与已知参数情况下会产生差别。最近，一些作者研究了参数的估计对控制过程的影响以及相应控制图的属性。这些作者中的大多数都关注于型控制图（参见Del Castillo[22]，Chen[23]，Ghoshet al.[24]，Joneset al.[25]，Jones[26]，Quesenberry[27]，Yanget al.[28]和Zhang and Castagliola[29]）。其他一些作者关注的是离散型控制图（S，和R控制图）：Hillier[30]，Hawkins[31]，Quesenberry[32]，Chen[33]，Maravelakis等人[34]，Maravelakis和Castagliola[35]以及Castagliola等人[36]。有关具有估计参数的控制图的文献综述，参见Jensen等人[37]。

然而，正如许多控制图的情况一样，VSI 控制图通常是在假设过程观测正常分布且具有已知的控制中均值和方差的情况下设计的。因此，在本文中，将在参数估计的情况下研究VSI控制图的性能。此篇文章的结构如下。第2节介绍了VSI的控制图。在第3节中，提出了一种受Reynolds等人工作启发的方法，以便在已知过程参数时评估VSI 图的信号时间（ATS，SDTS）的主要特性。在第4节中，在估算过程参数时，推导出用于评估VSI 图属性的等式。在第5节中，比较了已知和估计参数情况下VSI 图的信号时间属性，并提供了VSI 图常数的特定值和参数估计。最后，主要结论总结在第6节。

2.VSI 控制图

设，i = 1,2，...，是n个独立且服从正态)的II阶段样本，其中i是子群数，是控制中的平均值，是控制中的标准偏差，并且是标准化均值漂移的大小（如果= 0，则过程处于“控制”状态，如果gt; 0， 这个过程处于“无控制”状态。 设i是子群i的样本均值，即

如果和未知，那么上下控制限即为

值得注意的是，由于的标准偏差等于，上述方程中的常数K包括样本大小n，即K = ，，其中L是一个常数，它决定了控制统计量超出控制范围的概率。当过程处于控制中时发生信号的概率是误报率，用表示。在实际应用中，以给出传统的“三西格玛”思维考量，L通常被认为是3，其中= 0.0027。

如果在控制图上绘制的样本平均值i超出控制限，则将给出信号以通知操作员搜索原因。否则，该过程被认为是在控制中，并且下一个样本在下一个采样点连续进行。在标准的Shewhart图中，样本之间的时间间隔的长度是固定的，比如说h。但是在VSI图中，样本i和i 1之间的间隔将取决于i的值。该方法通过缩短给出信号的时间长度，可以提高标准休哈特图的检测能力。然而，当分区区域的数量变大时，复杂性将增加。在本文中，我们假设VSI 图只采用两个采样间隔长度（#39;S#39;表示#39;Short#39;）和（#39;L#39;表示#39;Long#39;）， lt;。这种选择的原因来自Reynolds等人和Runger和Pignatiello[4]的工作，他们表明，通过仅使用两个采样间隔可以获得VSI图可实现的检测效率的大部分增益，并且它保持了复杂性。所以，将两个控制范围之间的区域划分为两个子区域，如下所示：

其中Wisin;(0，k]是一个警告限系数，用于确定控制统计使用长短采样间隔的概率。VSI策略如下：

bull;如果iisin;[LWL，UWL]，则该过程被声明为“控制中”，并且在长采样间隔（之后收集下一个样本。

bull;如果iisin;[LCL，LWL]cup;（UWL，UCL），该过程也被声明为“控制中”，但是在短的采样间隔之后收集下一个样本。

bull;如果i lt;LCL或者i gt; UCL，该流程被宣布为“失控”，必须找到并删除潜在的原因。

3.具有已知参数的VSI 图的运行长度

VSI控制图的评判特征由样本数和给定信号之前的时间长度决定。报警之前的样本数通常在质量控制文献中被称为运行长度，并且样本数的期望被称为平均运行长度（ARL）。通过样本之间的固定间隔，ARL可以通过将其乘以FSI（h）轻松转换为预期的信号发送时间;因此，ARL可以被认为是预期的信号发送时间。但是，对于VSI图，信号发送时间不是样本数的常数倍，所以有必要分别跟踪要发信号的样本数和信号发送时间。 Reynolds等人[2]定义了信号N的样本数量，作为从过程开始到图发出警告信号的样本数量，他们定义了平均样本数量ANSS = E（N）作为要发信号的样本数的预期值。他们还定义了将T作为从过程开始到图发出警告信号的时间。如果hi =（，）是在第i个样本之前使用的最后一个采样间隔，那么

ATS = E（T）和SDTS =radic;V（T）分别是报警信号时间的预期值和标准偏差。

设，和q为以下概率：

如果控制过程中的平均值为且标准差为，则由于i~N，概率，和q等于

其中（...）是标准正态分布的累积分布。 如Reynolds等人[2]所示，因为N服从参数q的几何分布，ANSS = E（N）对应于K，n和的指定值，有ANSS = 1 / q并且N的方差是V（N）=（1-q）/ 。 对于FSI的图，第二阶段采样间隔是常数，hi = h。 但对于VSI图，第二阶段采样间隔hi是一个随机变量，只能取两个值（，）。 为了与其他静态控制图进行公平比较，重要的是还要评估平均采样间隔ASI = E（hi）。 由于与相关的概率是，与相关的概率是，并且因为 =1-q，我们有

同样的，我们有

使用Wald辨别法，Reynolds等人[2]得出以下结论：

和

值得注意的是，Reynolds等人[2]推导出这些方程，假设”第一个样本所使用的抽样区间是由一个随机区间确定的。”当过程处于控制中时，我们得到= 0并且概率，和q可以简化为：

因此，当过程处于控制中时，ATS和ASI等于

4. 参数估计下的VSI 的运行长度属性

在实践中，值和常常是未知的，因此有必要对它们进行估计以确定VSI 图的控制和警告限。 在设置控制图（阶段I）的初始步骤中，可以获得m个容量为n的子组{}（i = 1，...，m）的历史数据集。 让我们假设子组内和子组之间存在独立性，并且~N，。 一个的估算量为为

一个的估算量为为

其中i是对应于第i个样本的样本均值，即

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