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GM（1,1）灰色预测模型的充分必要条件
摘要：针对小数据集和信息有限的情况，灰色理论表现出了较好的拟合预测的能力，从而允许快速、简明、准确、有效的预测和了解未来趋势。
灰色理论中的GM(1,1)模型常被学者用作预测工具。为了提高GM(1,1)预测的准确性，大量的研究为修正的灰色预测模型提供了令人满意的结果。然而,因为灰色GM(1,1)模型的充要条件,即发展系数不应等于零是被忽视的,通过计算机来计算矩阵值获取灰色发展系数时会发生奇异的现象。此外,如果发展系数等于零被忽视,那么结果则会被替换成预测方程,从而成为一个毫无意义的预测值。本文将用实际案例论证GM(1,1)预测模型的奇异现象，并在预测台风莫拉克移动路径的实例中应用科学和有效的方法进行预测。
关键字：灰色理论；小数据集；洛必达法则；预测；台风
1.介绍
自从邓聚龙在1982年提出灰色理论开始，它发展迅速,并被广泛的应用于预测工业、经济、自然现象等领域。为了全面处理原始数据的不确定性，通过要求少量的数据、四个观测点来减少建模拟合误差，这是每项研究的重要任务之一。近年来，学者们一直在努力地提出新的模型，将灰色预测理论与其他算法领域的理论相结合，以提高预测精度。这些新模型的重点是提高灰色理论预测能力，以获得更高的预测精度。研究人员提出了新的高精度预测模型，比如混合灰色模型、灰色动态模型、灰色模糊、灰色田口方法、灰色马氏链、灰色傅里叶方法、灰色贝叶斯分析模型、灰色遗传算法模型、灰色多变量优化模型、灰三角法模型、灰色Verhulst模型、非线性灰色Bernoulli模型等等，它们将不同理论与灰色理论相结合，从而得到更高精度的预测方法。同时，为了建立合理的预测模型，提高预测能力，部分研究报告了如何优化参数的精度——灰色发展系数a，灰色输入b和背景值P。除了优化GM(1,1)模型的这三个参数外，Hsu等人应用改进的GM(1,1)模型，通过贝叶斯分析来评估灰色发展系数a和灰色输入b的合适范围，以提高预测精度;Li等人提出并建立了趋势和效能跟踪方法(TPTM)构建一个新的优化的GM模型，称为AGM(1,1)，从而获得了更高的预测质量；Truong等人提出了一种新的灰色模型SAGM，通过改进现有的缺陷来改进GM(1,1)的预测性能；Lin等人提出了终极灰色模型，即EFGM(1,1)，通过傅里叶级数和指数平滑等机制，对其进行了卓越的预测。在经济活动和自然科学的所有方面，都可以建立一个GM(1,1)模型的灰色预测模型并从中建立一个合理的预测方法。GM(1,1)预测模型演示了灰色理论的最优和独特的能力，其进行拟合预测能够使用较小的数据集和有限的信息。一项研究表明,当灰色发展系数变为零,将原始序列排列,按照特定的规则,将可以使导致不存在解决方案的预测模型替换成GM(1,1)预测方程。同时，许多学者使用微软Excel或Matlab等软件，通过最小二乘法获得GM(1,1)系数。然而，由于计算机截断误差，在灰色发展系数a为零的情况下，无法得到真正的解，在后续的计算中造成了严重的误差。因此，本研究为灰色发展系数a为零提供了正确的方法。本文组织如下:第2节介绍GM(1,1)中参数a和b的数学计算，并给出了灰色预测模型奇异现象的证明方法;第3节给出两个实例，说明所提出的求解方法的有效性。最后，第四节给出最终结论。
2.问题描述
在本节中，我们构造了传统的灰色GM(1, 1)预测模型，并简要地分析了a和b两个参数的相关基础分析，当灰色理论引入时，a被忽略了，这时灰色发展系数a不应该是零。当a = 0时，预测方程的不确定性为零乘以无穷。此时，基本演算起着重要的作用。我们运用洛必达法则求解不定式，其结果令人满意。
2.1GM（1,1）的数学模型
在灰色理论中，应用累积生成操作(AGO)技术来减少原始数据的随机性。这些处理后的数据是单调递增序列，符合一阶线性常微分方程的解。从而获得求解曲线拟合精度较高的原始数据。在下文中，我们简单描述了GM(1,1)的推导过程:
步骤1:假定原始数据序列为m项
x(0)=x(0)(1),x(0)(2),hellip;,x(0)(k),hellip;,x(0)(m),原始材料x(0)表示非负原始历史时间序列数据
步骤2:通过一次累积生成操作(1- ago)构建x(1)
x(1)=x(1)(1),x(1)(2),hellip;,x(1)(k),hellip;,x(1)(m),其中x(1)(k)=sum;i=1kx(0)(i) k = 1, 2, 3, hellip; , m
步骤3:1-AGO的结果是单调递增序列，类似于一阶线性微分方程的解曲线。因此，下面微分方程的解曲线表示1-AGO数据的近似值
其中A表示灰色预测值补充相应的初始条件
步骤4:通过对步骤3的离散化求解模型参数a和b，然后我们可以推导出其方程
如果采样时间间隔是统一的，那么我们就把它降低为：其中k=1,2,3
预测价值xLambda;(1),背景值,定义为其中k=1,2.3
这里的P通常在原始模型中是0.5。并且可以由此得到源模型：
其中k=1,2,3
为了做到这一点，使用最小二乘法和上式，模型参数a和b可以写成
其中 B 和 YN 的定义为
另一方面，由于上式的扩展，模型参数a和b也可由下列参数形式表示
其中C、D、E、F为：
步骤5:解决步骤3和初始条件，其特解是：
其中k=2,3,4
因此，在k步处的期望预测输出可以通过反累积生成操作(1-IAGO)来估计，即定义为
2.2误差分析
为了检验模型的精度，需要进一步的测试来确定预测值与实际值之间的误差。本研究采用两个误差分析定义，相对误差(RPE)分析和滚动灰色模型(RGM)误差分析，以评估模型的精度。
2.2.1相对百分比误差分析
相对百分比误差(RPE)比较了特定时间k的真实值和预测值，RPE定义为：
总的模型精度可以用平均相对百分比误差(ARPE)来定义：
2.2.2滚动灰色模型误差分析
灰色滚动模型是基于选择序列的正向数据。一般情况下，使用{x(0)(1)、x(0)(2)、x(0)(3)、x(0)(4)}来构建GM(1,1)，并预测下一个点x(0)(5)。通过对真实值和预测值的比较，在此基础上进行了剩余误差测试。为了计算剩余百分比，使用了下面的方程：
其中k 1≦m和x(0)(k 1)是实际价值和xLambda;(0)(k 1)的预测价值
RGM是一个合理的模型，因为RGM参数随着模型的更新而不断更新。Chen等人采用了滚动灰色模型误差分析，研究了新型非线性灰色预测模型的可行性
2.3数值例子
当a= 0的条件被忽视的灰色预测模型中,预测的值会发生错误,本研究使用以下三个设计的系列进行灰色预测:(1、1、2、1),(2,1、2、1),和(8、7、7、7)。使用软件(例如,Excel或Matlab),观察到一个非常接近于零的数值。然而，在将a代入Eq.(10)后，灰色系数的参数表达式被观察到a应该为零。如果将此值代入Eq.(13)而不注意此现象，则得到一个无意义的解。
因此，如果我们把一个零或接近零的值替换成Eq（13），预测方程x(0）（k 1）或x(1）（k 1）接近无穷，x（0）（1）接近负无穷，结果为0，在微积分中是一个“不定式”，使正常的灰色预测计算变得不可能。
表1分别给出了由三组原始观测数据(1,1,2,1)、(2,1,2,1)和(8,7,7,7)所构建的灰色模型。使用Microsoft Excel和Matlab计算的灰色预测分别显示a是等于或接近于零。通过Excel和Matlab进一步计算这些值会导致错误的预测值或错误消息，如表2所示。
表1 用不同的方法对参数a和b的结果进行了总结
表2 不同计算机中误差分析的比较
采用参数化方法对三组数据进行Eq.(10)的计算，验证a的准确值，结果是相同的;也就是说，a = 0时的结果与通过Excel和Matlab软件计算的结果不同。这种差异主要是由计算机数值矩阵计算的浮点截断误差引起的。如表2所示，当a = 0时，值不能用Excel或Matlab来计算;;当a接近于零时，相对百分比误差较大，在23.81%和52.38%之间（表2）。当a=0被集成到Eq（13）中时，得到GM（1，1）灰色预测模型的预测方程为微积分中的不定式。因为0是由计算机计算产生的一个错误，它相应的预测值是没有意义的。
根据这些计算结果，当原始数据分布为(1,1,2,1)，(2,1,2,1)和(8,7,7,7,n7)时，计算机软件计算会产生一个接近于零的灰色发展系数，但由于浮点误差不完全为零。如果a被盲目地代入Eq.(13)，则会得到有限但不合理的预测值，因为a在本质上等于零。当a=0被替换成Eq（13）中时，我们观察到，在微积分中，预测方程是不定式。因此，将a = 0代入Eq.(13)会导致错误的解决方案。
为了解决这个问题,我们使用洛必达法则来解决不定式为0(minus;infin;)。此外，(1、1、2、1)和(2,1,2,1)的例子验证了，无论第一个初始值的采样值是多少，参数值都不会受到影响。
2.4用洛必达法则求解奇异问题
M(1,1)预测方程xLambda;(0)(k 1)=(1-ea)x(0)(1)-bae-ak或xLambda;(1)(k 1)= x(0)(1)-bae-ak ba在计算发展系数接近或等于0时会发生错误。解决这一问题的方法是在初等微积分中寻求洛必达法则。
当接近于零时为不确定形式时，就会遇到上述问题
要解决上式的问题，则要通过：
对分子和分母求导
综上所述有：
对于采用灰色理论作为预测工具的研究人员来说，这是一个非常重要的结果。
同时，我们也可以用洛必达法则来求值
通过设置a = 0来求解原始灰度微分方程，其结果是相同的
从洛必达法则的计算，即Eq（20），或直接从微分方程，Eq（21），我们知道当接近0时，两个结果都是一样的。这证明，当灰色发展系数a接近或等于0时，不能直接将a直接代入GM(1,1)模型的预测方程;相反，必须用洛必达法则来计算下一个预测值，即b值。
2.5适用于GM(1,1)的设计流程图
传统GM(1,1)模型在灰色发展系数a的条件被忽略时，将导致预测结果错误。这种现象在本研究中得到了发现和解决。应用GM(1,1)模型的流程图如下图所示
首先，采用最小二乘法对四项观测数据进行采样，然后对其灰色发展系数a进行检验，以确定其是否为零。如果不能，我们可以将a的实际值代入GM(1,1)的原预测方程。如果可以，我们则提出这类问题，用洛必达法则来得到预测值，因为我们知道预测值是b。
3、实际预测案例
一般来说，GM(1,1)主要强调从有限的部分和已知的观察数据中提取宝贵的信息，这可以演变成常规的正确描述和有效的监控。学者们的贡献已经充分整合了GM(1,1)，使用最简单和最普遍的灰色预测理论，与其他预测理论，在实践中获得更完善的学术话语和更强的预测能力。
我们发现在灰色模型结构的过程中可能会出现奇异现象并导致学者们被计算机计算的奇异值所误导，从而不能全面、客观地理解未来的价值预测并导致不正确的解释。这种现象的产生是因为我们发现在灰色预测的特定情况下计算后会生成一个a= 0。在这项研究中,我们使用了实用价值,包括经济活动和为台风移动路径的值接近台湾,来验证当奇异现象的灰色发展系数接近或等于零发生在GM(1,1)预测模型中时，预测值发生错误和并表现为毫无意义。我们证明，在这种情况下，洛必达法则可以作为最优和合理的解。
3.1经济表现
失业率和消费者物价指数(CPI)在一个国家的经济活动中扮演着重要的角色。根据美国劳工部的定义，失业率是通过将失业人数除以整个劳动力人数来计算的。只
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