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附录A 外文参考文献(译文)
库存控制--第二版
Sven Axsater
ISBN-13: 978-0387-33331-1 (电子书)
2006年Springer Science Business Media, LLC版权所有
6.2 订货政策的最优性
在本章中我们考虑的所有模型中，都假定该策略是(R, Q)类型或(s, S)类型的策略。一个自然的问题是，是否存在其他更好的政策。总的来说，情况并非如此。在大多数情况下，这些策略中的一个确实是对独立项目的单级库存系统最优的。在第6.2.1节中，我们将表明，当没有订购成本时，一个(R, Q)策略是最优的，但是给定的固定批量数量Q之后，我们将对第6.2.2节中(s, S)政策的最优性进行评论。
6.2.1 批量订货时(R, Q)政策的最优性
考虑一个持续审查的库存系统。假设离散和泊松组合的需求，每个客户要求一个整数单位。和以前一样，我们假设不是所有的需求都是大于1的整数的倍数。的平均需求单位时间mu;来标示。交付时间L是常数。随机交付时间的需求用D(L)表示，其均值mu;#39; =mu;L。
此外，我们考虑一个单位和时间单位的持有成本，每单位和时间单位的短缺成本b1。没有订购成本，但所有订单必须是给定批量订单的倍数，订单只能由客户需求触发。在这些假设下，我们将证明一个(R, Q)策略是最优的。
显然，库存位置在任何时候都必须是整数。首先假设库存量在任意时刻t都是k。使用公式(6.1)，在时间t L的库存水平分布可以算得
P(IL=j)=P(D(L)=k-j),jle;k. (6.19)
此外，(如第6.1.1.1节所述)，让g(k)来表示时间t l时相应的库存持有和短缺成本率。
. (6.20)
如5.9.1节所示,g(k)是库存量k的一个凸函数。此外g(k)和| k |趋向于正无穷。
定义现在
其中y是一个整数。显然也是凸的。用R表示g(y)最小的整数。
引理6.1令x和z是整数。对于给定的z，g(z xQ)在x中是凸的。令x2为唯一整数，使得R 1le;z x2Qle;R Q.那么对于x=x2，g(z xQ)相对于x最小化。
从g（k）的凸性证明得出，g（z xQ）在x中是凸的。注意
g(z (x 1)Q)-g(z xQ)=g(z xQ)-g(z xQ-1) (6.21)
首先考虑任何x都是小于x2。这意味着z xQle;R，显然g(z xQ)-g(z xQ-1)le;0.类似地，xgt; x2意味着z xQgt;R Q，g(z xQ)-g(z xQ-1)ge;0.由此得出对于x当x=x2时，g（z xQ）被最小化。
我们现在准备证明以下命题。
命题6.1一个(R，Q)策略是最优的。
证明考虑任何可行的策略。让yt是时间为t的库存量。那么时间t L的成本率就是g(yt)。根据引理6.1，我们知道g(yt)ge;g(yt#39;)，其中yt#39;=yt nQ且n是唯一整数，所以因此，长期平均成本必须大于或等于长期g(yt#39;)的平均值。为了确定这些成本，考虑随机过程yt#39;的变化。显然yt#39;是不随客户需求变化而变化的。用Dt表示某个时间t的需求。让库存量yt-在需求之前，库存量yt 在需求之后。明确地
yt =yt--Dt mQ (6.22)
其中m是非负的。此外，由于我们的构建，我们还必须有，
yt#39; =yt#39;--Dt m#39;Q (6.23)
其中m#39;是一个整数。鉴于yt#39;-和Dt、m#39;的值是独特的，因为。需求规模是独立的，所以不同的yt#39;可以看作是具有在有限状态空间{R 1,R 2,...,R Q}的马尔可夫链。这种稳定的分布状态可以被证明是一致的。（这可以通过与5.3.1中的命题5.1基本相同的证明方式完成，我们省略了细节。）
因此，g(yt#39;)的长期平均值是 g(R)/Q。这是任何可行政策的长期成本的下限。但是这个下限可以通过使用(R，Q)策略来实现。使用(R，Q)策略，在区间{R 1,R 2,...,R Q}内，库存量也是统一的。(我们通过在（6.4）中设置A = 0来获得成本。)这就完成了证明。
命题6.1可以被衍生成各种形式，例如其他成本结构和定期审查。在Q=1的特殊情况下，(R，Q)策略退化为S=R 1的S策略。这意味着命题6.1也证明了在没有订购成本和没有约束的情况下S策略的最优性批量。
对于连续或泊松需求的问题，(R，Q)策略和(s，S)策略是等价的。对于这样的问题(s，S)，政策因此也是最佳的。
6.2.2 (s，S)策略的最优性
如果我们将6.2.1节中的固定批量替换为订购成本，那么最优策略相当于一般条件下(s，S)类型。这是更难以显示的。
但值得注意的是，(s，S)策略对于服务约束问题并不一定是最优的。例如，考虑s和S是整数的离散积分需求问题。用(s，S)策略没用办法准确地提供某个给定的服务等级可能会发生。因此，满足服务约束的最佳(s，S)策略将提供比所需服务略高的服务。在这种情况下，可以通过随时间改变政策来降低成本，使平均服务水平完全符合规定。
6.3 在实践中更新订单数量和重新订购点数
在第2 - 5章中，我们提出了不同的技术来预测和确定批量和再订货点。 现在我们将说明如何在库存控制系统中实施这些技术。 我们假设我们正在处理单个梯队系统和独立项目。
预测通常会以一定周期进行更新。一般来说，在更新预测后立即更新再订货点和批量是最实际的。用tF 表示预测期。
我们可以将预测期看作例如一个月。时间单位并不重要。我们可以使用一个月作为时间单位。在这种情况下，tF = 1，但我们也可以以天(tF = 30)或年(tF = 1/12)表示tF。但是，为避免不必要的错误，建议在所有库存控制计算中使用相同的时间单位。
通常情况下，预测通过指数平滑(2.4节)或通过指数平滑与趋势(2.5节)更新。对于一些项目使用季节性方法(第2.6节)也可能是合理的。一般而言，预测方法是针对每个项目手动选择的。要指定预测方法，我们还需要作为不同预测方法一部分的平滑参数。通常情况下，将项目划分为若干库存控制组，并使预测技术以及各种库存控制参数(如持有成本率和服务水平)对于同一组中的所有项目都是相同的。另见第11章。
当使用指数平滑时，我们更新每个预测期结束时的平均需求。相反，如果我们使用指数平滑与趋势，我们更新平均需求和趋势。 无论哪种情况，我们还会更新一些错误度量，如MADt(2.10节)。
在指数平滑的情况下，每单位时间的平均需求mu;被表示为
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